Chiarimento su distribuzioni

[Marchello89]

Ciao a tutti!!

Volevo avere un chiarimento sulle distribuzioni. Da quello che ho capito le distribuzioni, non sono altro che un funzionale lineare e continuo. Il mio libro dice per esempio che la funzione:$T_f: v-> int_(R) f(x)v(x) dx $. Ora ho capito che per esempio l'integrale e la derivata possono essere visti come dei funzionali, quello che non capisco è perché per definire una distribuzione ho per forza bisogno di accostarli a una funzione f(x) se è il funzionale è definito sullo spazio delle funzioni test e perché ho bisogno per forza di una operazione di integrazione?

[armandi1]

Ci sono distribuzioni che non devono essere "accostate" ad altre funzioni f(x) e inoltre non tutte le distribuzioni fanno uso dell'integrazione! un esempio è la delta di dirac , è una distribuzione che dipende da un punto x0 . Prende la funzione test e la valuta in quel punto x0

[dissonance]

Ragazzi, meglio dare un'occhiata a questo thread, in particolare il (memorabile) post di ViciousGoblin:

concetto-di-distribuzione-t42485.html#313193

[Marchello89]

La delta di Dirac mi manda ancora più in confusione perché in quel caso l'integrale non va inteso come operazione di integrazione, ma allora che senso ha?

[Marchello89]

Allora leggendo e rileggendo sto capendo un po' di più questo argomento, anche se alcuni dubbi permangono. Se uso una scrittura di questo tipo $F_f)(phi) = = int_-oo^(+oo) f(t)phi(t)dt$ sto intendendo con un abuso di notazione un funzionale f che ha come parametro di ingresso una funzione test. L'abuso di notazione può essere giustificato con il fatto che ogni funzione localmente sommabile genera una specifica distribuzione, e quindi si denota con il simbolo f la distribuzione che essa genera. Ora passando alla delta di Dirac essa è una distribuzione definita in questo modo: $ votov(t_0)$ quindi una relazione di questo tipo: $F_f^()(v)= =int_-oo^(+oo) delta(t)v(t)dt=v(0)$ dopodiché si dimostra che non esiste nessuna funzione localmente sommabile che mi restituisce $v(0)$ e si arriva a concludere che esistono successioni di funzioni che approssimano la $delta(t)$. Quello che non capisco è se la distribuzione delta di dirac è tutto il funzionale oppure è la successione di funzioni che al limite approssima la delta indicata nell'integrale con il simbolo $delta(t)$?