Chiarimento su derivabilità di una funzione e ordine di infinitesimo
Ciao, vi chiedo aiuto per chiarire due cose su questa funzione.
Ho una funzione definita a tratti $f(x)=$$\{((x+1)^(x+1), if x> -1) , (ax+b, if x<=-1):}$
Devo determinare:
_L'insieme di definizione $I$,
_I limiti agli estremi di $I$,
_$a$ e $b$ affinché f sia continua in $I$,
_L'insieme di derivabilità al variare di $a$ e $b$,
_f'(x)
_L'ordine di infinitesimo per $x->0$ di $f(x)-1$
Sarò conciso su quello che ho fatto per arrivare al punto, ma correggetemi se sbaglio:
Allora io ho detto che $I -= RR$, che a $+oo$ tende a $+oo$, mentre a $-oo$ tende a $-oo$ se $a>0$, a $+oo$ se $a<0$ e a $b$ se $a=0$
Poi, a $-1^+$, dopo essermici picchiato un po', m'è uscito che tende a $1$ e quindi perché $f$ sia continua il limite a $-1^-$ deve essere $1$, e questo avviene quando $b=1+a$.
Ora mi viene un dubbio, dovrei determinare se f é derivabile in -1, io, come ho sempre fatto, porrei che il limite destro della derivata nel punto debba essere uguale a quello sinistro calcolando le vere e proprie derivate, ma fare così é formalmente giusto? Oppure, perché la cosa sia motivata per bene, devo farlo con il limite del rapporto incrementale? Me lo chiedo perché poi mi chiede esplicitamente di trovare $f'(x)$...
In più ho dei problemi con l'ultimo punto!
Ho una funzione definita a tratti $f(x)=$$\{((x+1)^(x+1), if x> -1) , (ax+b, if x<=-1):}$
Devo determinare:
_L'insieme di definizione $I$,
_I limiti agli estremi di $I$,
_$a$ e $b$ affinché f sia continua in $I$,
_L'insieme di derivabilità al variare di $a$ e $b$,
_f'(x)
_L'ordine di infinitesimo per $x->0$ di $f(x)-1$
Sarò conciso su quello che ho fatto per arrivare al punto, ma correggetemi se sbaglio:
Allora io ho detto che $I -= RR$, che a $+oo$ tende a $+oo$, mentre a $-oo$ tende a $-oo$ se $a>0$, a $+oo$ se $a<0$ e a $b$ se $a=0$
Poi, a $-1^+$, dopo essermici picchiato un po', m'è uscito che tende a $1$ e quindi perché $f$ sia continua il limite a $-1^-$ deve essere $1$, e questo avviene quando $b=1+a$.
Ora mi viene un dubbio, dovrei determinare se f é derivabile in -1, io, come ho sempre fatto, porrei che il limite destro della derivata nel punto debba essere uguale a quello sinistro calcolando le vere e proprie derivate, ma fare così é formalmente giusto? Oppure, perché la cosa sia motivata per bene, devo farlo con il limite del rapporto incrementale? Me lo chiedo perché poi mi chiede esplicitamente di trovare $f'(x)$...
In più ho dei problemi con l'ultimo punto!
Risposte
Di solito è preferibile calcolare il limite dei rapporti incrementali, piuttosto che fare i limiti delle derivate.
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