Chiarimento su curva parametrizzata regolare a tratti
Buonasera a tutti,
ho una perplessità circa la definizione di curva parametrizzata regolare a tratti. Riporto testualmente ciò che è scritto sulle mie dispense:
"Una curva parametrizzata regolare a tratti è un'applicazione $\phi in C(I;RR^d)$ tale che esiste un insieme
$S={a
Conosco la definizione di curva parametrizzata regolare, cioè $\phi in C^1(I;RR^d)$ tale che $\phi'(t)!=0 , AA t in I$. Quello che ho capito da quest'ultima definizione è che una curva parametrizzata regolare è una curva derivabile in tutti i suoi punti, tale che la derivata in ogni suo punto è sempre non nulla (confermate?).
Non ho capito però il collegamento fra questo e la prima definizione che ho riportato. Ho cercato su internet, e mi è sembrato di capire che se una curva è parametrizzata a tratti significa che esiste una partizione dell'intervallo I di definizione tale che la curva è regolare...dove?
Da quello che vedo scritto sulle dispense, poi, non mi è proprio chiaro neanche dov'è questo passaggio (forse la seconda volta hanno scritto "regolare a tratti" quando dovevano scrivere solo "regolare"?)
Spero possiate illuminarmi!
Grazie in anticipo
Valentina
ho una perplessità circa la definizione di curva parametrizzata regolare a tratti. Riporto testualmente ciò che è scritto sulle mie dispense:
"Una curva parametrizzata regolare a tratti è un'applicazione $\phi in C(I;RR^d)$ tale che esiste un insieme
$S={a
Conosco la definizione di curva parametrizzata regolare, cioè $\phi in C^1(I;RR^d)$ tale che $\phi'(t)!=0 , AA t in I$. Quello che ho capito da quest'ultima definizione è che una curva parametrizzata regolare è una curva derivabile in tutti i suoi punti, tale che la derivata in ogni suo punto è sempre non nulla (confermate?).
Non ho capito però il collegamento fra questo e la prima definizione che ho riportato. Ho cercato su internet, e mi è sembrato di capire che se una curva è parametrizzata a tratti significa che esiste una partizione dell'intervallo I di definizione tale che la curva è regolare...dove?
Da quello che vedo scritto sulle dispense, poi, non mi è proprio chiaro neanche dov'è questo passaggio (forse la seconda volta hanno scritto "regolare a tratti" quando dovevano scrivere solo "regolare"?)
Spero possiate illuminarmi!
Grazie in anticipo
Valentina
Risposte
La tua definizione di curva regolare è corretta. Una curva "regolare a tratti" è una curva che si può ottenere incollando curve regolari. Ecco un esempio che chiarisce bene la situazione dal punto di vista grafico:
Questa curva non è regolare, perché ci sono dei punti angolosi, però è regolare a tratti.
E' chiaro cosa significa "incollare" due curve? E' proprio come te lo immagini. Due curve \(\gamma\colon [a, b]\to \mathbb{R}^d,\ \psi\colon [b, c] \to \mathbb{R}^d\) possono essere incollate se il punto finale della prima è il punto iniziale dell'altra: \(\gamma(b)=\psi(b)\). In questo caso si può definire una nuova curva \(\phi\colon [a, c] \to \mathbb{R}^d\) a questa maniera:
\[\phi(t)=\begin{cases} \gamma(t) & t \in [a, b]\\ \psi(t) & t \in [b, c]\end{cases}.\]
Chiaramente, se anche \(\gamma\) e \(\psi\) sono regolari, nel punto di giunzione potrebbe capitare che \(\phi\) non lo è, perché si potrebbe formare un punto angoloso.
Questa curva non è regolare, perché ci sono dei punti angolosi, però è regolare a tratti.
E' chiaro cosa significa "incollare" due curve? E' proprio come te lo immagini. Due curve \(\gamma\colon [a, b]\to \mathbb{R}^d,\ \psi\colon [b, c] \to \mathbb{R}^d\) possono essere incollate se il punto finale della prima è il punto iniziale dell'altra: \(\gamma(b)=\psi(b)\). In questo caso si può definire una nuova curva \(\phi\colon [a, c] \to \mathbb{R}^d\) a questa maniera:
\[\phi(t)=\begin{cases} \gamma(t) & t \in [a, b]\\ \psi(t) & t \in [b, c]\end{cases}.\]
Chiaramente, se anche \(\gamma\) e \(\psi\) sono regolari, nel punto di giunzione potrebbe capitare che \(\phi\) non lo è, perché si potrebbe formare un punto angoloso.
..e il fatto che in una curva ci siano punti angolosi significa che in quei punti la derivata della funzione non esiste, e quindi non è regolare. Ok, fino a qui ci sono; ma se invece nella curva ci sono punti in cui la derivata è nulla, anche in questo caso la curva non è regolare? Ad esempio, com'è nella curva $C_3$ del grafico? La curva $C_3$, presa da sola, è regolare?
Se ci sono punti in cui la derivata è nulla la curva non è regolare a tratti. Attenzione perché in questo contesto "derivata" significa "vettore tangente": dire che la derivata esiste e non è nulla significa che si può associare al punto un vettore tangente non degenere (ridotto al vettore nullo).
Ecco, vorrei sottolineare una cosa che mi ha fatto confondere parecchio all'inizio. Guardando un disegno come quello postato prima da me, in effetti non si può capire se una curva è regolare. Una curva, infatti, va pensata come si fa in fisica: è la traiettoria di una particella. Intuitivamente, la curva è regolare se la particella non presenta bruschi cambiamenti di direzione (=la curva è derivabile) e non si arresta mai (=la derivata non si annulla mai).
Guardando un disegno si osserva solo la traiettoria nel suo complesso e non la maniera in cui la particella la percorre. Si possono quindi percepire i bruschi cambiamenti di direzione, come quelli che compaiono qui alla giunzione tra \(C_i\) e \(C_{i+1}\):
ma non gli eventuali punti in cui la particella si è fermata.
Ciò detto, se per qualche motivo siamo sicuri che la particella, nel disegnare questa traiettoria, non si è fermata mai, allora siamo anche sicuri che questa curva è regolare a tratti. C'è stato infatti un primo intervallo di tempo, diciamo \([a, t_1]\), in cui la particella ha percorso senza fermarsi e senza bruschi cambiamenti di direzione il tratto \(C_1\); poi è successo qualcosa di spiacevole e la particella ha cambiato direzione all'improvviso, riprendendo però a muoversi in modo regolare nell'intervallo di tempo \([t_1, t_2]\), e così via.
Guardando un disegno si osserva solo la traiettoria nel suo complesso e non la maniera in cui la particella la percorre. Si possono quindi percepire i bruschi cambiamenti di direzione, come quelli che compaiono qui alla giunzione tra \(C_i\) e \(C_{i+1}\):
ma non gli eventuali punti in cui la particella si è fermata.
Ciò detto, se per qualche motivo siamo sicuri che la particella, nel disegnare questa traiettoria, non si è fermata mai, allora siamo anche sicuri che questa curva è regolare a tratti. C'è stato infatti un primo intervallo di tempo, diciamo \([a, t_1]\), in cui la particella ha percorso senza fermarsi e senza bruschi cambiamenti di direzione il tratto \(C_1\); poi è successo qualcosa di spiacevole e la particella ha cambiato direzione all'improvviso, riprendendo però a muoversi in modo regolare nell'intervallo di tempo \([t_1, t_2]\), e così via.
Perfetto, adesso ho capito bene. Frequento la facoltà di fisica, quindi ragionare in questi termini per me è molto più immediato! Grazie mille. Un'ultima precisazione: alla luce di quello che mi hai spiegato, un punto in cui la derivata è nulla è, quindi, un punto a cui si può associare il vettore nullo? Il valore della derivata adesso assume il significato di modulo del vettore associato a quel punto (ho paura di aver detto una scemenza enorme)?
Il valore della derivata assume il significato di modulo...No, no. Visto che sei una fisica finiamola di parlare di "derivata" e parliamo invece (come si fa pure in geometria, del resto) di "velocità" della curva. La velocità è sempre un vettore, eventualmente sarà il vettore nullo.
Il problema di questa eventualità è che non si capisce più cosa sia il versore tangente alla curva, perché esso è (per definizione, direi) il vettore velocità diviso per il suo modulo. Chiaro che se il vettore velocità è nullo il versore tangente non c'è. E questa, come vedrai, è una circostanza che occorre escludere se si vuole condurre uno studio geometrico delle curve. Ecco perché la definizione di curva "regolare a tratti" prevede che ci possa essere qualche punto angoloso (in cui la velocità ha una discontinuità), ma non che ci siano punti a velocità nulla.
Adesso ho capito. In conclusione, da un grafico non si può capire se la curva è regolare perchè non sappiamo se la particella che ha percorso quella traiettoria l'ha fatto senza fermarsi mai? Dunque, possiamo solo supporre che lo sia nel caso non ci siano bruschi cambi di direzione (punti angolosi) , o, nel caso questi ci siano, possiamo supporre che la curva sia regolare a tratti?
Esatto.
Molto bene. Ti ringrazio tanto ancora! 
Salve a tutti, scusate se torno su questo argomento ma ho trovato in un esercizio qualcosa che non mi torna.
Dissonance mi aveva spiegato tutto molto bene, e a un certo punto ha detto:
Adesso però ho trovato un esercizio in cui viene data questa curva in equazioni parametriche(asteroide):
$x=acos^3t$; $y=asen^3t$ nell'intervallo $0<=t<=2\pi$
e viene richiesto di verificare se è regolare. Facendo le derivate (non le scrivo perchè sono banali) si vede che per i valori $t=k\pi$ e $t=\pi/2+k\pi$ entrambe le componenti si annullano contemporaneamente, e quindi in quei valori la curva assume derivata nulla; io concluderei che non è regolare(ovvio), e non è neanche regolare a tratti, alla luce di quello che ho letto prima; sulla soluzione dell'esercizio c'è scritto invece che la curva è regolare a tratti. Perchè? Cos'ho capito male?
Grazie!
Dissonance mi aveva spiegato tutto molto bene, e a un certo punto ha detto:
"dissonance":
Ecco perché la definizione di curva "regolare a tratti" prevede che ci possa essere qualche punto angoloso (in cui la velocità ha una discontinuità), ma non che ci siano punti a velocità nulla.
Adesso però ho trovato un esercizio in cui viene data questa curva in equazioni parametriche(asteroide):
$x=acos^3t$; $y=asen^3t$ nell'intervallo $0<=t<=2\pi$
e viene richiesto di verificare se è regolare. Facendo le derivate (non le scrivo perchè sono banali) si vede che per i valori $t=k\pi$ e $t=\pi/2+k\pi$ entrambe le componenti si annullano contemporaneamente, e quindi in quei valori la curva assume derivata nulla; io concluderei che non è regolare(ovvio), e non è neanche regolare a tratti, alla luce di quello che ho letto prima; sulla soluzione dell'esercizio c'è scritto invece che la curva è regolare a tratti. Perchè? Cos'ho capito male?
Grazie!
Sarà questione di definizioni allora. Si vede che sul libro che stai leggendo la definizione di curva "regolare a tratti" è un po' diversa da quella a cui mi riferisco io.
La mia definizione è quella che ho scritto sul primo post... ma non so come interpretarla... 
Ho interpretato io con un po' di ambiguità, nella tua definizione, la condizione \(\phi'(t) \ne 0\). Il tuo libro evidentemente richiede che tale condizione debba sussistere solo negli intervalli \((t_0, t_1), (t_1, t_2), \ldots (t_{n-1}, t_n)\), mentre io sono abituato a richiederla anche nelle giunzioni, sotto forma di derivata destra e sinistra.
Mi dispiace avere creato questa confusione, ma è poco male: bisogna ritoccare un po' il nostro discorso precedente, osservando che dobbiamo ammettere come "regolari a tratti" anche quelle traiettorie che ogni tanto si fermano per un istante e ripartono immediatamente. L'importante è che lo facciano un numero finito di volte, ed è il caso del nostro asteroide che lo fa solo quattro volte.
Mi dispiace avere creato questa confusione, ma è poco male: bisogna ritoccare un po' il nostro discorso precedente, osservando che dobbiamo ammettere come "regolari a tratti" anche quelle traiettorie che ogni tanto si fermano per un istante e ripartono immediatamente. L'importante è che lo facciano un numero finito di volte, ed è il caso del nostro asteroide che lo fa solo quattro volte.
Non preoccuparti, il discorso era stato comunque illuminante per quanto riguarda l'interpretazione fisica!
Quindi, in pratica, l'asteroide è una curva regolare a tratti perchè la derivata si annulla un numero finito di volte; ovviamente è così solo se prendiamo un intervallo limitato, come nell'esercizio, altrimenti si annulla infinite volte perchè è periodica, giusto? E nel caso quindi la prendessi in un intervallo illimitato? Cioè, come faccio, in pratica, a capire se una curva sempre derivabile è regolare a tratti o non regolare? O forse una curva derivabile in tutti i punti è sempre almeno regolare (se la derivata non si annulla mai) o regolare a tratti (se si annulla qualche volta)?
Quindi, in pratica, l'asteroide è una curva regolare a tratti perchè la derivata si annulla un numero finito di volte; ovviamente è così solo se prendiamo un intervallo limitato, come nell'esercizio, altrimenti si annulla infinite volte perchè è periodica, giusto? E nel caso quindi la prendessi in un intervallo illimitato? Cioè, come faccio, in pratica, a capire se una curva sempre derivabile è regolare a tratti o non regolare? O forse una curva derivabile in tutti i punti è sempre almeno regolare (se la derivata non si annulla mai) o regolare a tratti (se si annulla qualche volta)?
No ma l'intervallo, per definizione, è sempre limitato: su questo almeno sono sicuro. L'intervallo illimitato ti potrebbe portare complicazioni che per il momento ti consiglio di lasciare fuori dalla porta.
Concretamente, le curve sono "quasi sempre" regolari a tratti. Nella pratica, una curva non regolare nemmeno a tratti può emergere se c'è qualche singolarità, ad esempio
\[\gamma(t)=\begin{cases} t \hat{x}+\frac{1}{\lvert t \rvert} \hat{y} & -1 \le t < 0,\ 0 < t \le 1 \\
0\hat{x}+0\hat{y} & t=0\end{cases}\]
è una curva non regolare nemmeno a tratti, ovviamente. Oppure può succedere che il moto della particella venga fermato "a mano" per un tempo non istantaneo:
\[\gamma(t)=\begin{cases} t \hat{x}+ \hat{y} & 0\le t \le 1 \\ \hat{x}+\hat{y} & 1\le t \le 2 \\ (t-1)\hat{x}+\hat{y} & 2\le t \le 3 \end{cases}\]
qui la particella viaggia con velocità unitaria per \(1\) unità di tempo, si blocca per un'altra unità di tempo, poi riparte con velocità unitaria per un'ultima unità di tempo. E quindi non è regolare a tratti perché c'è un intero intervallo temporale in cui la particella sta ferma.
Concretamente, le curve sono "quasi sempre" regolari a tratti. Nella pratica, una curva non regolare nemmeno a tratti può emergere se c'è qualche singolarità, ad esempio
\[\gamma(t)=\begin{cases} t \hat{x}+\frac{1}{\lvert t \rvert} \hat{y} & -1 \le t < 0,\ 0 < t \le 1 \\
0\hat{x}+0\hat{y} & t=0\end{cases}\]
è una curva non regolare nemmeno a tratti, ovviamente. Oppure può succedere che il moto della particella venga fermato "a mano" per un tempo non istantaneo:
\[\gamma(t)=\begin{cases} t \hat{x}+ \hat{y} & 0\le t \le 1 \\ \hat{x}+\hat{y} & 1\le t \le 2 \\ (t-1)\hat{x}+\hat{y} & 2\le t \le 3 \end{cases}\]
qui la particella viaggia con velocità unitaria per \(1\) unità di tempo, si blocca per un'altra unità di tempo, poi riparte con velocità unitaria per un'ultima unità di tempo. E quindi non è regolare a tratti perché c'è un intero intervallo temporale in cui la particella sta ferma.
Ok, adesso dovrei esserci. Comunque per quello che riguarda il tipo di esercizi che mi potrei trovare all'esame di analisi 1, in generale devo tenere a mente che a meno che non vi siano singolarità, di solito la curva è regolare a tratti, se la derivata si annulla almeno una volta. Per il resto, se mi capita una domanda del genere all'orale, farei bella figura... grazie mille ancora!
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