Chiarimento su confronto locale
Ho trovato questo esercizio svolto che chiede di studiare i valori di $alpha in RR$ per i quali l'integrale converge:
$int_2^3((x(sin(x-2))^(alpha))/(sqrt(x^2-4)))
sul libro è scritto che per $x->2+$ $(x(sin(x-2))^(alpha))/(sqrt(x^2-4)) ~ (2(x-2)^alpha)/(2(x-2)^(1/2))$
Non riesco capire molto bene questo passaggio. Nel senso che ho visto che hanno fatto lo sviluppo asintotico del $sin(x-2)$ ma da quel che capisco hanno sostituito $x=2$ solo in alcune posizioni(tipo il $2$ al numeratore o il $2$ a denominatore, derivante, da quanto ho capito da $sqrt(x+2)$), e non riesco a capire come si possa fare così..
$int_2^3((x(sin(x-2))^(alpha))/(sqrt(x^2-4)))
sul libro è scritto che per $x->2+$ $(x(sin(x-2))^(alpha))/(sqrt(x^2-4)) ~ (2(x-2)^alpha)/(2(x-2)^(1/2))$
Non riesco capire molto bene questo passaggio. Nel senso che ho visto che hanno fatto lo sviluppo asintotico del $sin(x-2)$ ma da quel che capisco hanno sostituito $x=2$ solo in alcune posizioni(tipo il $2$ al numeratore o il $2$ a denominatore, derivante, da quanto ho capito da $sqrt(x+2)$), e non riesco a capire come si possa fare così..
Risposte
Penso che al denominatore sia $sqrt(x^2-4 ) $che puoi riscrivere come $ sqrt((x+2)(x-2))=2*sqrt(x-2)$ quando $x rarr 2^+ $.
Sempre quando $x rarr 2^+ $ , il numeratore può essere riscritto come $2*(x-2)^alpha$ perchè se $ x rarr 2 ^+$ allora $(x-2) rarr 0+$ e quindi$ sen ( x-2)$ è asintotico a $(x-2)$
Sempre quando $x rarr 2^+ $ , il numeratore può essere riscritto come $2*(x-2)^alpha$ perchè se $ x rarr 2 ^+$ allora $(x-2) rarr 0+$ e quindi$ sen ( x-2)$ è asintotico a $(x-2)$
Hai ragione, ora modifico.
E quidni la funzione integranda è asintotica , per $ x rarr 2 ^+$, a $ (x-2)^(alpha-1/2) $ , da cui si arriva facilmente alle conclusioni.
Ok, mi sono convinto. Era una cosa stupida della quale non riuscivo a convincermi. Grazie
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