Chiarimento su compattezza e totale limitatezza

[Sk_Anonymous]

Salve a tutti,vorre chiedervi se è giusto quello che scrivo,perchè vorrei avere chiarezza su questi concetti !
Uno spazio metrico compatto è sicuramente totalmente limitato , ma il viceversa vale se lo spazio è anche completo ,giusto ? oppure la totale limitatezza implica,da sola, la compattezza ?
Grazie.

[ViciousGoblin]

"marge45":
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oppure la totale limitatezza implica,da sola, la compattezza ?
Grazie.

No. Se prendi un sottoinsieme di $RR$ con la metrica indotta allora "totalmente limitato" equivale a "limitato" (*)
Ma l'intervallo aperto $ "]" a , b [ $ è limitato pur non essendo compatto.
Puoi dire che un insieme totalmente limitato in uno spazio completo è "relativamente compatto", cioè ha chiusura compatta.

(*) Per dimostrarlo puoi ragionare così:
sia $A\subset RR$ limitato; allora la sua chiusura $\bar A$ è limitato e chiuso (come è facile dimostrare) per cui $\bar A$
è compatto (noto teorema); dunque $\bar A$ è totalmente limitato, ma allora $A\subset\bar A$ è totalmente limitato .

[gugo82]

@marge54: Contento di riaverti tra noi. Passato il "momento no"?