Chiarimento studio di funzione con modulo

[fabioamd87]

Salve, ho fatto una marea di esercizi sulla derivata prima di una funzione ma non riesco ancora ad avere chiaro come comportarmi quando incontro un modulo.

in alcuni esercizi dovevo distinguere il caso (fx)>0 e quindi x> di una certa quantità e studiare le 2 funzioni separatamente
poi una volta trovati gli intervalli in cui la derivata prima è positiva/negativa incollarli col caso fx<0

quello che non ho capito è che a volte, devo letteralmente incollare i grafici nei punti dove il modulo è negativo/positivo

altre volte, giungo alla soluzione SOVRAPPONENDO i grafici, ignorando completamente gli intervalli di esistenza.

un esempio della prima è $ 1/(log|x^2-4|) $
un esempio del secondo caso è la derivata prima di $ |arctan(x)|-((2x+1)/(1+x^2)) $

[fabioamd87]

niente?

[fabioamd87]

forse, come ho letto sul web, bisogna distinguere i casi in cui TUTTA la funzione è sotto il segno del modulo (come potrebbe essere la prima no?) e solo un pezzo della funzione sotto segno del modulo?

[Rigel1]

Consideriamo il caso di una funzione $f(x) = |g(x)|$, $x\in (a,b)$, con $g$ derivabile in $x_0\in (a,b)$.

1) Se $g(x_0)\ne 0$, allora anche $f$ è derivabile in $x_0$ e $f'(x_0) = sign(f(x_0))\cdot g'(x_0)$.

2) Se $g(x_0) = 0$, abbiamo due sottocasi:
2a) se anche $g'(x_0) = 0$, allora $f$ è derivabile in $x_0$ e $f'(x_0) = 0$;
2b) se invece $g'(x_0)\ne 0$, allora $f$ non è derivabile in $x_0$; in questo caso si può infatti verificare che $|f'_+(x_0)| = |f'_-(x_0)|= |g'(x_0)|$, ma le due derivate $f'_+(x_0)$, $f'_-(x_0)$ sono diverse da $0$ e hanno segno opposto (quindi $x_0$ è un punto angoloso per il grafico di $f$).

[fabioamd87]

ti ringrazio, quindi è importante controllare la presenza di 0 giusto?

[mmmmmm2]

E' fondamentale, perchè il modulo non è derivabile nel punto in cui si annulla la funzione!!!!!!!!!!!