Chiarimento significato definizione funzioni

[studentean]

Ciao,sono sempre io,mi spiegate man mano che trovo termini il significato,fino ad adesso ho trovato:

funzione sommabile in un certo intervallo(da quello che ho capito significa che sia integrabile in quell'intervallo)

funzione assolutamente integrabile in R?

FUNZIONE € L'(R)?


THANKS

[Titoli non in maiuscolo]

[Domè891]

ciao, $f$ si dice sommabile se: sia $f: A->R$, $f$ misurabile e $A$ misurabile secondo Lebesgue. allora $f$ è sommabile se $int_A|f(x)|dx<+oo$

ciao

[gugo82]

"studentean":Ciao,sono sempre io,mi spiegate man mano che trovo termini il significato,fino ad adesso ho trovato:

funzione sommabile in un certo intervallo(da quello che ho capito significa che sia integrabile in quell'intervallo)

funzione assolutamente integrabile in R?

FUNZIONE € L'(R)?


THANKS

Sono tutti sinonimi.

Se $E subseteq RR$ (o anche se $E$ è un insieme misurabile di uno spazio di misura di tipo generico), dire che una funzione è sommabile in $E$, che essa è assolutamente integrabile in $E$ o che $f in L^1(E)$ è la stessa cosa: significa che esiste finito l'integrale $\int_E |f|" d"x$ (l'integrale è da intendersi preferibilmente nel senso di Lebesgue; tuttavia le prime due espressioni vengono usate pure per l'integrale di Riemann).

[studentean]

grazie, quindi ricapitolando:

funzione sommabile=funzione integrabile assolutamente in tutto il dominio
funzione localmente integrabile=integrabile solo in un intervallo chiuso e limitato


f € L'(R) ossia la funzione e' sommabile e localmente integrabile?


ditemi se sbaglio

[gugo82]

"studentean":grazie, quindi ricapitolando:

funzione sommabile=funzione integrabile assolutamente in tutto il dominio

Giusto.

"studentean":funzione localmente integrabile=integrabile solo in un intervallo chiuso e limitato

Sbagliato.
Localmente integrabile [risp. localmente sommabile] significa che $f$ è integrabile [risp. sommabile] in tutti i compatti contenuti nel suo insieme di definizione; in simboli, se $f:XtoRR$ con $X subseteq RR$, dire che $f$ è localmente integrabile [risp. localmente sommabile] significa affermare che $\int_K f(x)" d"x$ [risp. $\int_k|f(x)|" d"x$] esiste finito per ogni $Ksubseteq X$ compatto.

"studentean":f € L'(R) ossia la funzione e' sommabile e localmente integrabile?

Parzialmente esatto.
La scrittura $f in L^1(RR)$ vuol dire che esiste finito $\int_RR|f(x)|" d"x$ nel senso di Lebesgue: questo implica che $f$ sia localmente sommabile e quindi localmente integrabile in $RR$.