Chiarimento risoluzione serie

[lume1]

Salve a tutti ieri ho avuto l'esame di analisi matematica uno e c'era un esercizio che diceva: data la serie $ sum (x-1)^n/(2n) $ con $ x in RR $ studiarne il comportamento al variare della $x$. Ora per me è una serie di potenze, ma c'è chi mi dice di no, quindi ho fatto lo studio del comportamento tramite il criterio del raggio di convergenza e come risultato ho che la serie converge per ogni $ x in RR $.


Secondo voi ho ragionato in modo giusto?

[Ska1]

Se $x=2$ cosa succede?

[ciampax]

Puoi vederla sia come una serie dipendente da un parametro, sia come serie di potenze centrata in $x_0=1$. Per il raggio di convergenza però sbagli: esso vale $1$, per cui la serie converge per $-1
P.S.: tra l'altro, si può anche vedere molto facilmente quale è la somma di quella serie e da lì dedurre che effettivamente il raggio di convergenza risulta $1$.

[lume1]

La serie diventa $ sum <1/(2n)> $ , quindi una serie armonica che diverge a + $ oo $ essendo una serie maggiorante della sere armonica. Quindi ho sbagliato!!!! nuoooooo!!! sinceramente mi sembrava troppo scontato. Quindi la serie converge per ogni $ in -{2} $ e in $x=2$ diverge a +$ oo $.

[ciampax]

lume, ma lo leggi cosa ho scritto? La serie converge per $x\in[0,2)$ e diverge fuori da questo intervallo. Il raggio di convergenza è 1, non infinito!

[lume1]

Non passerò mai questo esame!!

Allora il raggio di convergenza a me viene +oo perchè la serie sarebbe scritta come $ sum (1/(2n))(x-1)^n$ quindi quando vado a fare il $ lim_(n -> +oo ) root(n)(1/(2n)) $ a me viene $0$. poi facendo il raggio di convergena $r=1/0=+oo$.

[Ska1]

[tex]$\sqrt[n]{\frac{1}{2n}} = e^{\frac{-log(2n)}{n}}$[/tex] che per [tex]$n\rightarrow +\infty$[/tex] tende a [tex]$e^{0} = 1$[/tex]

[lume1]

Quindi ho sbagliato tutto!!!!!