Chiarimento Raggio di Convergenza
Buongiorno,
avrei bisogno di un chiarimento in modo da definire una volta per tutte la situazione.
Ora io sono a consocenza del fatto che per il calcolo del raggio di convergenza applico la seguente formula:
$lim_(n->00)(|a_n+1|/|a_n|) = L$
Dopodichè $ Raggio = 1 / L $ e si presentano tre porssibilità:
- raggio = 0
- raggio = infinito
- raggio compreso tra zero ed infinito (quindi un numero finito)
FIn qui non dovrebbero esserci problemi, i dubbi mi sorgono quando concluso il limite e mi rimane la "x" in gioco....se scompare in teoria non ho problemi
Esempio possibile:
$\sum_{n=0}^00 ((pi^n-1)/(e^n+1)) x$
Svolgimento:
$lim_(n->00)(|a_n+1|/|a_n|) = (|(pi^(n+1)-1)/(e^(n+1)-1)|)/(|(pi^n-1)/(e^n+1)|) = [...] = pi^n / e^n = 00 -> R = 1 / L = 1 / 00 = 0$
Il mio dubbio è questo... la $x$ in questo caso non l'ho proprio considerata ed in teoria tutto è corretto. Confermate?
avrei bisogno di un chiarimento in modo da definire una volta per tutte la situazione.
Ora io sono a consocenza del fatto che per il calcolo del raggio di convergenza applico la seguente formula:
$lim_(n->00)(|a_n+1|/|a_n|) = L$
Dopodichè $ Raggio = 1 / L $ e si presentano tre porssibilità:
- raggio = 0
- raggio = infinito
- raggio compreso tra zero ed infinito (quindi un numero finito)
FIn qui non dovrebbero esserci problemi, i dubbi mi sorgono quando concluso il limite e mi rimane la "x" in gioco....se scompare in teoria non ho problemi
Esempio possibile:
$\sum_{n=0}^00 ((pi^n-1)/(e^n+1)) x$
Svolgimento:
$lim_(n->00)(|a_n+1|/|a_n|) = (|(pi^(n+1)-1)/(e^(n+1)-1)|)/(|(pi^n-1)/(e^n+1)|) = [...] = pi^n / e^n = 00 -> R = 1 / L = 1 / 00 = 0$
Il mio dubbio è questo... la $x$ in questo caso non l'ho proprio considerata ed in teoria tutto è corretto. Confermate?
Risposte
credo tu abbia dimenticato l'esponente della x. comunque sia se non ho sbagliato i calcoli il raggio viene $ pi/e $ e di conseguenza il raggio viene $ e/pi $ per cui la x varia tra $(-e/pi,e/pi)$
e comunque ti si fosse presentato il caso in cui il raggio è zero allora si converge solo in 0 ovvero nel centro.
e comunque ti si fosse presentato il caso in cui il raggio è zero allora si converge solo in 0 ovvero nel centro.
Credo che dovrò rivedermi bene tutto il discorso, perchè effettivamente non riesco ancora a capirci nulla ... o poco nulla 
Per il resto si, l'esponente è stato volutamente omesso perchè volevo rendere le cose semplici, capire il discorso e poi aggiungere l'esponente $n$ alla $x$.
Il fatto che tu me l'abbia chiesto e io l'abbia volutamente omesso è già dimostrazione che sono fuori strada ma di brutto
Infatti l'esercizio corretto da risolvere è:
Calcolare il raggio di convergenza di
$ \sum_{0}^00 ((pi^n-1)/(e^n+1)) x^n $
Ma i dubbi con $ x^n$ aumentano esponenzialmente
Per il resto si, l'esponente è stato volutamente omesso perchè volevo rendere le cose semplici, capire il discorso e poi aggiungere l'esponente $n$ alla $x$.
Il fatto che tu me l'abbia chiesto e io l'abbia volutamente omesso è già dimostrazione che sono fuori strada ma di brutto
Infatti l'esercizio corretto da risolvere è:
Calcolare il raggio di convergenza di
$ \sum_{0}^00 ((pi^n-1)/(e^n+1)) x^n $
Ma i dubbi con $ x^n$ aumentano esponenzialmente
in realtà con l'esponente dovrebbero diminuire enormemente. Senza potrebbe essere una serie numerica parametrica. con l'esponente invece è una serie di potenze $ sum_(n = \0) ^(+oo ) a_n (x-x_0)^n $ con centro in zero ($x_0=0$). è solo perchè è una serie di potenze che ha senso calcolare il raggio di convergenza altrimenti no.
Inoltre è lecito usare la formula che abbiamo usato perchè $ a_n!= 0 AA nin N $
Capio l'insieme in cui varia la x dobbiamo anche controllare gli estremi perchè il teorema non dice nulla sugli estremi!
Inoltre è lecito usare la formula che abbiamo usato perchè $ a_n!= 0 AA nin N $
Capio l'insieme in cui varia la x dobbiamo anche controllare gli estremi perchè il teorema non dice nulla sugli estremi!
"cooper":
se non ho sbagliato i calcoli il raggio viene $ pi/e $ e di conseguenza il raggio viene $ $ $
Per prima cosa ti confermo che non hai sbagliato i calcoli
COmunque dopo essermi rivisto il discorso sul raggio di covergenza forse ho capito qualcosa in più....nello specifico di questo caso abbiamo quindi che:
- $ x $ appartenente a $ (-e/pi, e/pi) $ la serie converge
- $ x $ appartenente a $ (-oo, -e/pi) uu (e/pi, +oo)$ la serie non converge
- sono da valutare separatamente i due estremi $-e/pi$ e $ e/pi$
Sono sulla strada giusta ???
si è tutto corretto! 
"cooper":
si è tutto corretto!
Ottimo, almeno ora qualcosa in più dovrei aver capito....ma mi manca ancora un pezzo, ovvero quando mi si annulla la $x$ che considerazioni posso fare???
Ho sbagliato i calcoli oppure può succedere?
Inoltre se per esempio mi trovo nella seguente situazione: Calcolare il raggio di convergenza di
$ \sum_{0}^00 ( (x + 1)/(x + 2))^n $
sempre se non ho sbagliato i calcoli ottengo che il risultato del limite è $(x+1)/(x+2)$... e poi che considerazioni dovrei fare?
Scusatemi, ma ogni giorno ho un dubbio (anzi più di uno) nuovo....
Scusate se riporto alla luce questa discussione, ma sul discorso raggio di convergenza ancora non sono riuscito a crearmi uno schema mentale in testa, da poter affrontare con sicurezza un eventuale esercizio d'esame.
Dato che allo stato attuale non ho ancora ben rivisto la situazione, prima di fare domande inutile e specifiche (aspettatevele per domani ) vi chiedo, non è che avreste da consigliarmi magari una guida/sintesi non troppo complicata/approfondita di tutte le casistiche che possono presentarsi?
Perchè per me il problema principale nasce quando la forma della serie non è quella standard....
Nel senso che se io ho la classica serie $a_n x_n$ grosso modo dovrei aver capito come comportarmi, il problema nasce quando mi trovo la $x$ in mezzo ad $a_n$ , tipo $((x-2)/x)^n $ oppure se mi scompare al termine del risultato tel limite per il calcolo del raggio.
Se trovassi uno schema guida, o semplici esempi magrai riuscirei ad archiviare anche questo argomento
Nel frattempo grazie a Tutti come sempre
Dato che allo stato attuale non ho ancora ben rivisto la situazione, prima di fare domande inutile e specifiche (aspettatevele per domani
) vi chiedo, non è che avreste da consigliarmi magari una guida/sintesi non troppo complicata/approfondita di tutte le casistiche che possono presentarsi?Perchè per me il problema principale nasce quando la forma della serie non è quella standard....
Nel senso che se io ho la classica serie $a_n x_n$ grosso modo dovrei aver capito come comportarmi, il problema nasce quando mi trovo la $x$ in mezzo ad $a_n$ , tipo $((x-2)/x)^n $ oppure se mi scompare al termine del risultato tel limite per il calcolo del raggio.
Se trovassi uno schema guida, o semplici esempi magrai riuscirei ad archiviare anche questo argomento
Nel frattempo grazie a Tutti come sempre
ciao scusa se ti rispondo solo ora ma sono stato occupato in questi giorni. Allora: io porrei $ y=(x+1)/(x+2) $ . Allora la serie diventa
$ sum_(n = \1)^(+oo ) y^n $ con termine $ a_n=1 $ per cui R=1.
A questo punto allora $ |y|<1 $ e risolvi l'equazione col modulo e controlli gli estremi! Per il secondo post non saprei cosa consigliarti, forse potresti cercare in internet degli esercizi con risoluzione o qualcosa del genere.
$ sum_(n = \1)^(+oo ) y^n $ con termine $ a_n=1 $ per cui R=1.
A questo punto allora $ |y|<1 $ e risolvi l'equazione col modulo e controlli gli estremi! Per il secondo post non saprei cosa consigliarti, forse potresti cercare in internet degli esercizi con risoluzione o qualcosa del genere.
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