Chiarimento parte finale dimostrazione Th. Weierstrass

[Sk_Anonymous]

Salve, ho capito ed imparato la prima parte $(i)$ della dimostrazione del teorema di Weierstrass, ma purtroppo non capisco la seconda parte $(ii)$ , in particolare non capisco da dove viene, cos'è e perchè si usa la funzione che ho evidenziato.
Ecco la dimostrazione del mio libro di testo:

http://i.imgur.com/NhLph.png

Spero in un chiarimento, grazie

[Sk_Anonymous]

nessuno?

[Seneca1]

Purtroppo non ho tempo per il tuo problema. Raccomando però di andarci piano con gli "up", soprattutto visto che non sei nuovo e dovresti conoscere il regolamento.

[Gi81]

Dato che la funzione è limitata superiormente, certamente ha estremo superiore, cioè\[ \exists M \in \mathbb{R} \quad \text{ tale che }\quad M = \sup_{x \in [a,b]} f(x) \]Si vuole provare che \[ M= \max_{x \in [a,b]} f(x)\]Se per assurdo non lo fosse, allora \(f(x)

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[halfdead]

Quella funzione non viene da nessuna parte. Cioè salta fuori ad hoc per concludere la dimostrazione. Il punto è che stiamo assumendo per assurdo che M non sia un massimo, e quindi quella funzione è definita su tutto [a, b] (se M fosse un massimo, il denominatore di g(x) si annullerebbe in qualche punto di [a, b]).
Dal fatto che g(x) è continua in tutto l'intervallo e dalla parte (i) segue che g(x) è limitata, cioè esiste "L" come definito nel testo, da cui segue con semplici calcoli che f(x) ≤ M - 1/L per ogni x di [a, b]
Il testo non lo dice esplicitamente mi pare, ma è possibile assumere che L sia positivo, da cui segue che una quantità minore di M è un maggiorante di f(x) su tutto l'intervallo considerato, ed il ché è assurdo poiché M è l'estremo superiore di f(x) su tale intervallo (per definizione l'estremo superiore è il minimo dei maggioranti, quindi una quantità minore dell'estremo superiore non può maggiorare f(x) su tutto l'intervallo).
Da questo assurdo segue che M deve essere un massimo.

(scusa, il testo lo dice esplicitamente, che L>0).

[Sk_Anonymous]

"Seneca":Purtroppo non ho tempo per il tuo problema. Raccomando però di andarci piano con gli "up", soprattutto visto che non sei nuovo e dovresti conoscere il regolamento.

chiedo scusa, non l'ho considerato un "up" perchè il Thread era sceso solo di qualche riga, ma in effetti lo è.
Non si ripeterà.

"Gi8":Dato che la funzione è limitata superiormente, certamente ha estremo superiore, cioè...
Fin qui ci sei?

si, questo mi è chiaro

"halfdead":Quella funzione non viene da nessuna parte. Cioè salta fuori ad hoc per concludere la dimostrazione. Il punto è che stiamo assumendo per assurdo che ...

ok, finalmente ho capito.
Grazie Infinite ad entrambi