Chiarimento funzioni continue

[simone94sr]

Ciao a tutti! Ho un dubbio circa la definizione di funzione continua.
Una funzione $f$ è continua se e solo se la controimmagine di un insieme aperto è aperta (o equivalentemente $f$ è continua se e solo se la controimmagine di un insieme chiuso è chiusa).
Il dubbio che ho è questo: sapendo che $f$ è continua e che la controimmagine di un insieme $A$ è aperta, posso affermare che $A$ è aperto? Sicuramente $A$ non è chiuso per la caratterizzazione precedente. Può essere $A$ nè aperto nè chiuso?
Grazie

[Antimius]

Ma parli di una funzione tra spazi topologici generici? Tieni conto che possono esistere insiemi aperti e chiusi contemporaneamente, quindi l'essere chiuso non esclude l'essere aperto.
Se invece lo spazio è connesso, non esistono sottoinsiemi propri non vuoti che siano aperti e chiusi (contemporaneamente).
In ogni caso, non è detto che, se la controimmagine di $A$ è aperta, anche $A$ sia aperto. Come esempio, prendi la funzione da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$: $f(x)=x^2$. L'insieme $[0,a^2)$ non è né aperto né chiuso, ma la controimmagine $(-a,a)$ è aperta.

[simone94sr]

Intendevo nel caso più generale possibile. Grazie!!

[Antimius]

La risposta è che non puoi concludere che $A$ è aperto. Perché no? Esistono dei controesempi che negano l'implicazione. Su me ne è venuto in mente uno, ma puoi trovarne altri.