Chiarimento Funzione integrale.
Salve a tutti; ecco la mia bella funzione integrale: $G(x)=int_(0)^(x^3) e^(-t)/sqrt(t+1)$.Ora nell'esercizio il mio prof mi chiede di tracciarne un grafico qualitativo.Ora il domino mi risulta essere $[-1,+\infty[$; ora quando devo determinare il valore della funzione $G(-1)$ ottengo un integrale generalizzato; in quanto la funzione integranda risulta nn limitata; quindi ho già verificato che questo limite esiste finito;tramite il confronto asintotico.Ora il mio prof nella spiegazione scrive: $lim_(x->-1) int_(0)^(x^3) e^(-t)/(sqrt(t+1))dt =h$ con $h$ valore negativo; e quindi trova in maniera approssimata questo valore; e nn si calcola l'integrale.qualcuno può spiegarmi di come fa ad accogersi di questo fatto.cioè il fatto che sia un numero è ovvio ma nn capisco come fa a stabilire che è negativo.
Risposte
"identikit_man":
Salve a tutti; ecco la mia bella funzione integrale: $G(x)=int_(0)^(x^3) e^(-t)/sqrt(t+1)$.Ora nell'esercizio il mio prof mi chiede di tracciarne un grafico qualitativo.Ora il domino mi risulta essere $[-1,+\infty[$; ora quando devo determinare il valore della funzione $G(-1)$ ottengo un integrale generalizzato; in quanto la funzione integranda risulta nn limitata; quindi ho già verificato che questo limite esiste finito;tramite il confronto asintotico.Ora il mio prof nella spiegazione scrive: $lim_(x->-1) int_(0)^(x^3) e^(-t)/(sqrt(t+1))dt =h$ con $h$ valore negativo; e quindi trova in maniera approssimata questo valore; e nn si calcola l'integrale.qualcuno può spiegarmi di come fa ad accogersi di questo fatto.cioè il fatto che sia un numero è ovvio ma nn capisco come fa a stabilire che è negativo.
Beh..la funzione integranda è sempre positiva, quindi:
$G(-1)=int_0^(-1) f(t)dt = -int_(-1)^0 f(t)dt$.
Ok per questa funzione ho capito; ma se ad esempio ho questa funzione integrale: $G(x)=int_(0)^(x) log ((1+t^2)/(2+t^2)) dt$ e devo calcolarmi asintoto orizzontale; quindi devo risolvere il seguente limite: $lim_(x->+\infty) int_(0)^(+\infty) log ((1+t^2)/(2+t^2)) dt$; ho già verificato che il limite esiste finito; il mio prof conclude che questo limite risulta $-h$; senza quindi risolvere l'integrale e poi fare il limite.Come fa a dirlo?
"identikit_man":
Ok per questa funzione ho capito; ma se ad esempio ho questa funzione integrale: $G(x)=int_(0)^(x) log ((1+t^2)/(2+t^2)) dt$ e devo calcolarmi asintoto orizzontale; quindi devo risolvere il seguente limite: $lim_(x->+\infty) int_(0)^(+\infty) log ((1+t^2)/(2+t^2)) dt$; ho già verificato che il limite esiste finito; il mio prof conclude che questo limite risulta $-h$; senza quindi risolvere l'integrale e poi fare il limite.Come fa a dirlo?
Guarda la funzione integranada....è positiva o negativa? quindi....
Per il logaritmo vale la seguente proprietà:
$logx<0$ se $0
Dunque, notando che nel tuo caso
$(1+t^2)/(2+t^2)>0$ $AAt$
e che
$1+t^2<2+t^2$ $AAt$
la conclusione che quel limite è senz'altro negativo.
$logx<0$ se $0
Dunque, notando che nel tuo caso
$(1+t^2)/(2+t^2)>0$ $AAt$
e che
$1+t^2<2+t^2$ $AAt$
la conclusione che quel limite è senz'altro negativo.
Quindi per capirlo devo solo controllare la funzione integranda?il segno d'integrale nn influisce...
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