Chiarimento frase criptica su studio dei punti di estremo
Ciao a tutti!
Rivedendo gli appunti presi a lezione mi sono accorto di una frase criptica (per me) che il prof ha buttato lì, con scioltezza;
l'argomento come da oggetto è lo studio di punti di minimo e massimo, in funzioni a più variabili.
Le sue parole, precisamente, sono state: "per definire punti di minimo e di massimo, non dipendiamo da metriche o topologie".
Bene.
Poi è andato avanti spiegando la prassi da seguire in queste occasioni...
Ora, premesso che la nozione di topologia, per molti del mio corso di fisica è piuttosto oscura, in quanto ci è stata buttata lì con la stessa enfasi con cui questa stessa frase è stata detta, avrei piacere di comprendere il significato di una affermazione che, detta dal professore, sembrava importante.
NB: quando dico che la nozione di topologia ci è oscura, significa che non ci ha spiegato nulla a riguardo, eccetto citarla per pochi secondi dicendo che noi non approfondiremo quel tema.
Wikipedia non mi è molto di aiuto, con la sterile definizione di topologia. Magari qualcuno riesce a spiegarmi qualcosa in maniera *discorsiva* ? grazie in anticipo!
Buon Weekend a tutti!
Rivedendo gli appunti presi a lezione mi sono accorto di una frase criptica (per me) che il prof ha buttato lì, con scioltezza;
l'argomento come da oggetto è lo studio di punti di minimo e massimo, in funzioni a più variabili.
Le sue parole, precisamente, sono state: "per definire punti di minimo e di massimo, non dipendiamo da metriche o topologie".
Bene.
Poi è andato avanti spiegando la prassi da seguire in queste occasioni...
Ora, premesso che la nozione di topologia, per molti del mio corso di fisica è piuttosto oscura, in quanto ci è stata buttata lì con la stessa enfasi con cui questa stessa frase è stata detta, avrei piacere di comprendere il significato di una affermazione che, detta dal professore, sembrava importante.
NB: quando dico che la nozione di topologia ci è oscura, significa che non ci ha spiegato nulla a riguardo, eccetto citarla per pochi secondi dicendo che noi non approfondiremo quel tema.
Wikipedia non mi è molto di aiuto, con la sterile definizione di topologia. Magari qualcuno riesce a spiegarmi qualcosa in maniera *discorsiva* ? grazie in anticipo!
Buon Weekend a tutti!
Risposte
Le nozioni di massimo e minimo sono nozioni legate all'ordine definito nel codominio, non alla topologia o alla metrica di dominio/codominio.
Insomma, sia $f:Xto S$, con $X!=\emptyset$ ed $S$ ordinato da una relazione d'ordine $<=$; un $x_0 \in X$ si dice punto di minimo per $f$ se:
$AAx in X, f(x_0)<=f(x)$.
Come vedi, la topologia o la metrica non sono nominate da nessuna parte.
Insomma, sia $f:Xto S$, con $X!=\emptyset$ ed $S$ ordinato da una relazione d'ordine $<=$; un $x_0 \in X$ si dice punto di minimo per $f$ se:
$AAx in X, f(x_0)<=f(x)$.
Come vedi, la topologia o la metrica non sono nominate da nessuna parte.
L'affermazione è importante, metodologicamente.
Si sottolinea che certi tipi di strutture matematiche non sono necessarie per poter parlare di max/min e i punti di max/min, come ha precisato Gugo.
Segue la stessa falsariga il mio (criptico...) intervento oggi qui:
https://www.matematicamente.it/forum/lim ... tml#300424
Si sottolinea che certi tipi di strutture matematiche non sono necessarie per poter parlare di max/min e i punti di max/min, come ha precisato Gugo.
Segue la stessa falsariga il mio (criptico...) intervento oggi qui:
https://www.matematicamente.it/forum/lim ... tml#300424
In effetti, non avevo pensato nei termini in cui Gugo mi ha risposto.
Ho ancora un dubbio però:
- definendo gli estremi locali, si utilizzano le nozioni di intorno di un punto e di palla.
La palla e l'intorno, tuttavia, si definiscono con la nozione di distanza (metrica). Com'è allora che per parlare di estremi locali
non necessito di una metrica definita?
Grazie ancora per le risposte!
Ho ancora un dubbio però:
- definendo gli estremi locali, si utilizzano le nozioni di intorno di un punto e di palla.
La palla e l'intorno, tuttavia, si definiscono con la nozione di distanza (metrica). Com'è allora che per parlare di estremi locali
non necessito di una metrica definita?
Grazie ancora per le risposte!
Certo, se ti interessano estremi locali hai bisogno di una topologia (una metrica va abbondantemente bene). Perché ti serve precisare che le def di max/min basta che siano soddisfatte in un intorno del punto (di max/min) che ti interessa.
Ah, molto bene. Io mi scervellavo per capire come fosse possibile non dipendervi anche localmente!
Gentilissimi
alla prossima!
Gentilissimi
alla prossima!
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