Chiarimento esercizio studio di funzione
salve, ho qualche dubbio sul seguente esercizio:
determinare i valori di $alpha in RR$ per cui la funzione è continua e derivabile in $x=0$
$f(x)=((|x|^alpha cos (1/x) per x!=0), (0 per x=0)) $
applico la definizione di continuità ed ottengo $lim_(x->0) |x|^alpha cos (1/x)$
il $cos$ non esiste e la funzione è continua per $alpha>0$.
per la derivabilità, sempre con la definizione, ottengo:
$lim_(h->0) (|h|^alpha cos (1/h))/h$
poi ho questo passaggio preso da un esercizio del prof, in cui non capisco come ottiene $alpha-1$
$lim_(h->0) |h|/|h|*(|h|^alpha cos (1/h))/h ->alpha-1>0$ la funzione è derivabile per $alpha>1$
grazie per qualsiasi suggerimento
determinare i valori di $alpha in RR$ per cui la funzione è continua e derivabile in $x=0$
$f(x)=((|x|^alpha cos (1/x) per x!=0), (0 per x=0)) $
applico la definizione di continuità ed ottengo $lim_(x->0) |x|^alpha cos (1/x)$
il $cos$ non esiste e la funzione è continua per $alpha>0$.
per la derivabilità, sempre con la definizione, ottengo:
$lim_(h->0) (|h|^alpha cos (1/h))/h$
poi ho questo passaggio preso da un esercizio del prof, in cui non capisco come ottiene $alpha-1$
$lim_(h->0) |h|/|h|*(|h|^alpha cos (1/h))/h ->alpha-1>0$ la funzione è derivabile per $alpha>1$
grazie per qualsiasi suggerimento
Risposte
Che la funzione sia continua per ogni $alpha$ ho dei dubbi: il limite della funzione per $x \rightarrow 0$ è zero (dimostrabile col teorema del confronto) solo se $alpha>0$, viceversa mi pare che il limite non esista, quindi la funzione non può essere continua.
Sul resto non ho capito bene, provo a rileggere ma mi pare poco chiaro.
Ma tra l'altro scusa: $alpha$ che tipo di numero è? Reale? Intero? Ciao
Sul resto non ho capito bene, provo a rileggere ma mi pare poco chiaro.
Ma tra l'altro scusa: $alpha$ che tipo di numero è? Reale? Intero? Ciao
"Palliit":
Che la funzione sia continua per ogni $alpha$ ho dei dubbi: il limite della funzione per $x \rightarrow 0$ è zero (dimostrabile col teorema del confronto) solo se $alpha>0$, viceversa mi pare che il limite non esista, quindi la funzione non può essere continua.
Sul resto non ho capito bene, provo a rileggere ma mi pare poco chiaro. Ciao
grazie per la risposta.
giustissimo che è continua per $alpha>0$, vado a correggere l'errore
per la derivabilità applico la definizione ed ottengo il seguente limite:
$lim_(h->0) (|h|^alpha cos (1/h))/h$ e devo trovare per quali valori di alpha è uguale a zero.
Ciao!
Ma $alpha$ è un reale qualunque?
In tal caso ti posso dire solo questo(se ricordo bene le regole di questo forum dal quale manco da un pò..):
ti conviene distinguere i tre possibili casi del suo segno,e ricordare che il prodotto tra un'infinitesima ed una limitata è un'infinitesima,e fare un ragionamento per assurdo nel caso $alpha>0$
(ad occhio mi par che posson trovarsi restrizioni,a successioni che si "schiacciano verso lo zero",
dotate di comportamenti al limite del tutto diversi..).
Ciò fatto ti cadrà la condizione necessaria per la derivabilità nel caso $alpha<=0$:
per quello restante mi sembra tu sia sulla buone strada,anche se forse ti conviene osservare che il rapporto incrementale è una funzione pari della variabile indipendente h..
Saluti dal web.
Edit:
@Paalit:Ogni volta che manco per un pò,scordo il rischio della contemporaneità!!
@Aquila:Cmq il ragionamento fatto per la mancata continuità del caso $alpha<=0$,
può essere esteso coi dovuti accorgimenti alla derivabilità:
la differenza è minima,e l'hai già individuata..
Ma $alpha$ è un reale qualunque?
In tal caso ti posso dire solo questo(se ricordo bene le regole di questo forum dal quale manco da un pò..):
ti conviene distinguere i tre possibili casi del suo segno,e ricordare che il prodotto tra un'infinitesima ed una limitata è un'infinitesima,e fare un ragionamento per assurdo nel caso $alpha>0$
(ad occhio mi par che posson trovarsi restrizioni,a successioni che si "schiacciano verso lo zero",
dotate di comportamenti al limite del tutto diversi..).
Ciò fatto ti cadrà la condizione necessaria per la derivabilità nel caso $alpha<=0$:
per quello restante mi sembra tu sia sulla buone strada,anche se forse ti conviene osservare che il rapporto incrementale è una funzione pari della variabile indipendente h..
Saluti dal web.
Edit:
@Paalit:Ogni volta che manco per un pò,scordo il rischio della contemporaneità!!
@Aquila:Cmq il ragionamento fatto per la mancata continuità del caso $alpha<=0$,
può essere esteso coi dovuti accorgimenti alla derivabilità:
la differenza è minima,e l'hai già individuata..
"theras":
Ciao!
Ma $alpha$ è un reale qualunque?
In tal caso ti posso dire solo questo(se ricordo bene le regole di questo forum dal quale manco da un pò..):
ti conviene distinguere i tre possibili casi del suo segno,e ricordare che il prodotto tra un'infinitesima ed una limitata è un'infinitesima,e fare un ragionamento per assurdo nel caso $alpha>0$
(ad occhio mi par che posson trovarsi restrizioni,a successioni che si "schiacciano verso lo zero",
dotate di comportamenti al limite del tutto diversi..).
Ciò fatto ti cadrà la condizione necessaria per la derivabilità nel caso $alpha<=0$:
per quello restante mi sembra tu sia sulla buone strada,anche se forse ti conviene osservare che il rapporto incrementale è una funzione pari della variabile indipendente h..
Saluti dal web.
grazie, si $alpha in RR$
non credo sia necessario studiare i 3 casi, comunque dovrebbe essere:
per $alpha=0$ -> $lim_(h->0) (cos(1/h))/h$
per $alpha>0$ -> $lim_(h->0) (|h|^alpha*cos(1/h))/h$
per $alpha<0$ -> $lim_(h->0) (cos(1/h))/|h|^(alpha+1)$
"theras":
Edit:
@Aquila:Cmq il ragionamento fatto per la mancata continuità del caso $alpha<=0$,
può essere esteso coi dovuti accorgimenti alla derivabilità:
la differenza è minima,e l'hai già individuata..
ho trovato che è derivabile per $alpha>1$
ho seguito questo ragionamento: $lim_(h->0) (|h|^alpha*cos(1/h))/h$ equivale a $lim_(h->0) (|h|^alpha)/h$
e per risultare zero, alpha deve essere >1
può andare?
@12Aquila: nel terzo caso (quello per $alpha<0$ ) forse hai fatto qualche casino, direi che non va; (ovviamente mi riferisco al tuo penultimo post)
@theras: volevi dire che il rapporto incrementale è funzione dispari di $h$ ? ciao
@theras: volevi dire che il rapporto incrementale è funzione dispari di $h$ ? ciao
"Palliit":
@12Aquila: nel terzo caso (quello per $alpha<0$ ) forse hai fatto qualche casino, direi che non va; (ovviamente mi riferisco al tuo penultimo post)
@theras: volevi dire che il rapposto incrementale è funzione dispari di $h$ ? ciao
si, erroneamente ho considerato $alpha<0$ come $-alpha$
dovrebbe essere $lim_(h->0)(cos(1/h))/(|h|^alpha * h)$
invece sull'ultimo direi che non è vero che i due limiti che indichi come equivalenti lo siano. Il limite che definisce la derivata inoltre non è indispensabile che valga zero, l'importante è che esista e sia finito, e visto che contiene un modulo di $h$ è fondamentale che il teorema di unicità sia rispettato... L'indicazione sulla simmetria data da theras in questo è utile (anche se il rapporto incrementale è funzione dispari e non pari di $h$), limitati a studiare il [tex]\lim_{h\rightarrow 0^{+}}[/tex]
"Palliit":
invece sull'ultimo direi che non è vero che i due limiti che indichi come equivalenti lo siano. Il limite che definisce la derivata inoltre non è indispensabile che valga zero, l'importante è che esista e sia finito, e visto che contiene un modulo di $h$ è fondamentale che il teorema di unicità sia rispettato...
ma la definizione non dice che deve esistere, essere finito ed è la derivata nel punto $x_0$?
quindi trovo i valori per cui sia uguale a zero, in questo modo soddisfo l'esercizio.
No,Aquila:
più che altro volevo dirti,a meno di miei errori di digitazione del > al posto del corretto <,
che la f non è neanche continua se $alpha<=0$:
per $alpha=0$ lo vedi subito,perchè $nexists lim_(t to oo)cost$,
mentre per $alpha<0$ potresti formalizzare quanto anticipato da Palliit considerando le restrizione di f a due successioni infinitesime scelte osservando che $cos2kpi=1,cos(kpi+pi/2)=0$ $AAk in ZZ$..
A questo punto ci potrebbe esser derivabilita solo nel caso $alpha>0$,
e mi sembra destinato a buon fine il metodo da te scelto per studiare questo caso e giungere alla dovuta conclusione:
la tecnica per farlo potrebbe essere analoga a quella per studiar la continuità,ma con $alpha-1$ al posto di $alpha$!
Saluti dal web.
Edit
Naturalmente si!!
Post distratto,e ne chiedo venia:
vedi il segno mal digitato,anche se poteva esser dedotto l'errore veniale dal resto del discorso,
laddove distraendomi mentre scrivevo della disparità del rapporto incrementale ho corso l'imperdonabile rischio di metterlo fuori strada per via d'una,seppur bella,canzone che stavo riascoltando a distanza d'un pò dall'ultima volta..
più che altro volevo dirti,a meno di miei errori di digitazione del > al posto del corretto <,
che la f non è neanche continua se $alpha<=0$:
per $alpha=0$ lo vedi subito,perchè $nexists lim_(t to oo)cost$,
mentre per $alpha<0$ potresti formalizzare quanto anticipato da Palliit considerando le restrizione di f a due successioni infinitesime scelte osservando che $cos2kpi=1,cos(kpi+pi/2)=0$ $AAk in ZZ$..
A questo punto ci potrebbe esser derivabilita solo nel caso $alpha>0$,
e mi sembra destinato a buon fine il metodo da te scelto per studiare questo caso e giungere alla dovuta conclusione:
la tecnica per farlo potrebbe essere analoga a quella per studiar la continuità,ma con $alpha-1$ al posto di $alpha$!
Saluti dal web.
Edit
"Palliit":
...
@theras: volevi dire che il rapposto incrementale è funzione dispari di $h$ ? ciao
Naturalmente si!!
Post distratto,e ne chiedo venia:
vedi il segno mal digitato,anche se poteva esser dedotto l'errore veniale dal resto del discorso,
laddove distraendomi mentre scrivevo della disparità del rapporto incrementale ho corso l'imperdonabile rischio di metterlo fuori strada per via d'una,seppur bella,canzone che stavo riascoltando a distanza d'un pò dall'ultima volta..
Esistere finito non vuol dire necessariamente che sia zero, dev'essere finito, e uguale nel limite destro e sinistro, poi se viene zero o un altro numero poco importa. Ripeto, se studi solo il limite destro puoi eliminare il modulo e le conclusioni diventano più facili. Poi sfrutti la simmetria per ottenere il limite sinistro.
grazie ad entrambi,
non ho capito la restrizione alle successioni, per ora non voglio approfondire.
da dove deriva $alpha-1$ ?
ok quindi avrei: $lim_(x->0^+) (h^alpha *cos(1/h))/h$
studiando i 3 casi:
per $alpha=0$ -> $lim_(h->0^+) (cos(1/h))/h$ -> non esiste
per $alpha>0$ -> $lim_(h->0^+) (h^alpha*cos(1/h))/h$ con de l'hopital tralasciando il cos che non esiste
avrei $alpha*h^(alpha-1)$ quindi -> $alpha-1>0$ -> $alpha>1$
per $alpha<0$ -> $lim_(h->0^+) (cos(1/h))/(h^alpha*h)$ -> non esiste
"theras":
No,Aquila:
più che altro volevo dirti,a meno di miei errori di digitazione del > al posto del corretto <,
che la f non è neanche continua se $alpha<=0$:
per $alpha=0$ lo vedi subito,perchè $nexists lim_(t to oo)cost$,
mentre per $alpha<0$ potresti formalizzare quanto anticipato da Palliit considerando le restrizione di f a due successioni infinitesime scelte osservando che $cos2kpi=1,cos(kpi+pi/2)=0$ $AAk in ZZ$..
A questo punto ci potrebbe esser derivabilita solo nel caso $alpha>0$,
e mi sembra destinato a buon fine il metodo da te scelto per studiare questo caso e giungere alla dovuta conclusione:
la tecnica per farlo potrebbe essere analoga a quella per studiar la continuità,ma con $alpha-1$ al posto di $alpha$!
Saluti dal web.
non ho capito la restrizione alle successioni, per ora non voglio approfondire.
da dove deriva $alpha-1$ ?
"Palliit":
Esistere finito non vuol dire necessariamente che sia zero, dev'essere finito, e uguale nel limite destro e sinistro, poi se viene zero o un altro numero poco importa. Ripeto, se studi solo il limite destro puoi eliminare il modulo e le conclusioni diventano più facili. Poi sfrutti la simmetria per ottenere il limite sinistro.
ok quindi avrei: $lim_(x->0^+) (h^alpha *cos(1/h))/h$
studiando i 3 casi:
per $alpha=0$ -> $lim_(h->0^+) (cos(1/h))/h$ -> non esiste
per $alpha>0$ -> $lim_(h->0^+) (h^alpha*cos(1/h))/h$ con de l'hopital tralasciando il cos che non esiste
avrei $alpha*h^(alpha-1)$ quindi -> $alpha-1>0$ -> $alpha>1$
per $alpha<0$ -> $lim_(h->0^+) (cos(1/h))/(h^alpha*h)$ -> non esiste
@Aquila:
e' chiaro che,se per assurdo $EEoverline(alpha)<0$ t.c. $EElim_(x to 0)f_(overline(alpha))(x)=overline(l) inRRuu{-oo,+oo}$,
in virtù del "teorema ponte" tra limiti di funzioni e di successioni e del fatto che $EElim_(n to oo)1/(2npi)=lim_(n to oo)1/(npi+pi/2)=0$ potremmo dire che $EElim_(n to oo)f_(overline(alpha))(1/(2npi))=lim_(n to oo)f_(overline(alpha))(1/(npi+pi/2))=overline(l)$?
"Solo" che,avendosi appunto $overline(alpha)<0$,
$EElim_(n to oo)f_(overline(alpha))(1/(2npi))=lim_(n to oo)(2npi)^(|alpha|)cos(2npi)=lim_(n to oo)(2npi)^(|alpha|)*1=+oo$ e $EElim_(n to oo)f_(overline(alpha))(1/(npi+pi/2))=lim_(n to oo)(npi+pi/2)^(|alpha|)*cos(npi+pi/2)=lim_(n to oo)(npi+pi/2)^(|alpha|)*0=lim_(n to oo)0=0$:
ma $+oone0cdots$..
T'è poi chiaro come,per $AAalpha in(0,+oo)$,si ha che (1) $EElim_(x to 0)|x|^(alpha)=0$ e (2)$|cost|<=1$ $AAt in RRrArrEElim_(x to 0)|x|^(alpha)cos(1/x)=0$?
Ora prova ad applicare gli stessi ragionamento,qualunque sia $alpha>0$
(perchè in caso contario non ci sarebbe continuità,e dunque nemmeno derivabilità,in $x_0=0$..),
a $lim_(h to 0^+)(f_(alpha)(0+h)-f_(alpha)(0))/h=lim_(h to 0^+)h^(alpha-1)cos(1/h)$:
in modo del tutto analogo a quanto appena finito di verificare,
potrai dimostrare che tale limite converge allora e solo quando $alpha-1>0$...
A quel punto sfrutta la disparità del rapporto incrementale in $x_0=0$ per capire come,
nell'insieme in cui $alpha$ è "obbligata" a variare per potersi parlare di esistenza del precedente limite
(o derivabilità della f parametrica data in $x_0=0$ che dir si voglia,poichè al di fuori d'esso ovviamente nix derivata
),
si ha che $EElim_(h to 0^-)(f_(alpha)(0+h)-f_(alpha)(0))/h=-lim_(t to 0^+)t^(alpha-1)cos(1/t)=cdotsrArrEElim_(h to 0)(f_(alpha)(0+h)-f_(alpha)(0))/h=cdots$:
spero d'esserti stato utile,perchè di più non posso!
Saluti dal web
e' chiaro che,se per assurdo $EEoverline(alpha)<0$ t.c. $EElim_(x to 0)f_(overline(alpha))(x)=overline(l) inRRuu{-oo,+oo}$,
in virtù del "teorema ponte" tra limiti di funzioni e di successioni e del fatto che $EElim_(n to oo)1/(2npi)=lim_(n to oo)1/(npi+pi/2)=0$ potremmo dire che $EElim_(n to oo)f_(overline(alpha))(1/(2npi))=lim_(n to oo)f_(overline(alpha))(1/(npi+pi/2))=overline(l)$?
"Solo" che,avendosi appunto $overline(alpha)<0$,
$EElim_(n to oo)f_(overline(alpha))(1/(2npi))=lim_(n to oo)(2npi)^(|alpha|)cos(2npi)=lim_(n to oo)(2npi)^(|alpha|)*1=+oo$ e $EElim_(n to oo)f_(overline(alpha))(1/(npi+pi/2))=lim_(n to oo)(npi+pi/2)^(|alpha|)*cos(npi+pi/2)=lim_(n to oo)(npi+pi/2)^(|alpha|)*0=lim_(n to oo)0=0$:
ma $+oone0cdots$..
T'è poi chiaro come,per $AAalpha in(0,+oo)$,si ha che (1) $EElim_(x to 0)|x|^(alpha)=0$ e (2)$|cost|<=1$ $AAt in RRrArrEElim_(x to 0)|x|^(alpha)cos(1/x)=0$?
Ora prova ad applicare gli stessi ragionamento,qualunque sia $alpha>0$
(perchè in caso contario non ci sarebbe continuità,e dunque nemmeno derivabilità,in $x_0=0$..),
a $lim_(h to 0^+)(f_(alpha)(0+h)-f_(alpha)(0))/h=lim_(h to 0^+)h^(alpha-1)cos(1/h)$:
in modo del tutto analogo a quanto appena finito di verificare,
potrai dimostrare che tale limite converge allora e solo quando $alpha-1>0$...
A quel punto sfrutta la disparità del rapporto incrementale in $x_0=0$ per capire come,
nell'insieme in cui $alpha$ è "obbligata" a variare per potersi parlare di esistenza del precedente limite
(o derivabilità della f parametrica data in $x_0=0$ che dir si voglia,poichè al di fuori d'esso ovviamente nix derivata
),si ha che $EElim_(h to 0^-)(f_(alpha)(0+h)-f_(alpha)(0))/h=-lim_(t to 0^+)t^(alpha-1)cos(1/t)=cdotsrArrEElim_(h to 0)(f_(alpha)(0+h)-f_(alpha)(0))/h=cdots$:
spero d'esserti stato utile,perchè di più non posso!
Saluti dal web
"theras":
spero d'esserti stato utile,perchè di più non posso!
Saluti dal web
hai già fatto molto, grazie mille
domani ci studio su
"12Aquila":
studiando i 3 casi:
Tieni presente, e te l'ha già ricordato theras, che per $alpha<=0$ la funzione non è continua, quindi certamente non è derivabile. La derivabilità è da discutere soltanto per $alpha>0$. Ciao a entrambi
"Palliit":
[quote="12Aquila"]studiando i 3 casi:
Tieni presente, e te l'ha già ricordato theras, che per $alpha<=0$ la funzione non è continua, quindi certamente non è derivabile. La derivabilità è da discutere soltanto per $alpha>0$. Ciao a entrambi[/quote]
si, alla fine è derivabile per $alpha>1$.
Grazie per tutto
, ciao
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