Chiarimento dubbi su derivabilità (Studio di funzione)

[stositoobbligalamiaregistrazione]

Salve ragazzi
La composizione di funzioni derivabili da sempre una funzione derivabile, quindi in altre parole, se vado a studiare una funzione composta da più funzioni derivabili è inutile che io vada a calcolarmi il dominio della derivata prima per vedere se in qualche punto la funzione non è derivabile, giusto?

*Edit: in alcune funzioni vedo che il prof fa anche il limite della derivata tendente ad un punto non appartenente al dominio di partenza, non capisco perché in alcune funzioni (anche derivabili in tutto il dominio) lo faccia ed in alcune no!

[anto_zoolander]

C’è un teorema che dice
se una funzione è derivabile in un punto allora è continua in quel punto

Per esempio la funzione $f(x)=arctan(1/x^2)$ è la composizione di $arctan(x)$ e $1/x^2$

$f’(x)=(df(x))/dx=1/(1+1/x^4)(-2/x^3)=-(2x)/(1+x^4)$

Questa derivata prima è tale per cui $f’:RRsetminus{0}->RR$

$lim_(x->x_0^(-))f’(x)=lim_(x->x_0^(+))f’(x)=0$

Pertanto la funzione $overline(f’):={(f’(x) if x ne 0),(0 if x=0):}$
Questo ci dice che la funzione $overline(f’)$ è una estensione continua nel punto $x=0$ della funzione $f’$

L’idea è che per quel teorema $f$ ammette una estensione continua in $0$.