Chiarimento disegno qualitativo di un solido di rotazione

[mikelozzo]

Cavolo da quanto tempo non scrivevo su questo forum.. il mio storico amico di viaggio
Cooooooooooomunque...
volevo chiedere se il "ragionamento" che ho fatto su una determinata parametrizzazione è valido o è una cavolata.

In pratica, io fino ad ora sono riuscito a svolgere molti esercizi del tipo:
$Ω={(x,y,z): -1<=z<=7-sqrt((x^2)/(25)+(y^2)/(9)) , (x^2)/(25)+(y^2)/(9)<=1}$
con risultato grafico:



$Ω={(x,y,z): sqrt((x^2)/(4)+(y^2)/(9))-2<=z<=2 , (x^2)/(4)+(y^2)/(9)+z^2>=1}$
con risultato grafico:



$Ω={(x,y,z): (x^2)/(25)+(y^2)/(9)<=4 , (x^2)/(25)+(y^2)/(9)+z^2>=1, y>=0, |z|<=1}$
con risultato grafico:

(fig.1)


Poi però, sono incappato in questo esercizio:
$Ω={(x,y,z): sqrt((x^2)/(4)+(y^2)/(9))<=cos(z)+2, |z|<=2(pi)}$
che il prof, disegna cosi:


Io, ricontrollando gli esercizi, effettivamente non mi sono mai (il secondo caso - che presenta lo stesso problema - lo seguii dagli esercizi e forse ho dato per scontato il disegno, senza soffermarmi ad analizzarlo bene) trovato nella situazione di dover applicare il ragionamento di (fig.1) per un caso in cui avessi la $z$ di mezzo (ovvero cos(z)) e non la riuscissi a togliere per riportarmi all'ellisse classica $(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1$ e quindi (se non ho fatto errori negli esercizi precedenti) i solidi di rotazione riuscivo a disegnarli nello spazio, quindi a disegnarli considerando l'ellisse di base.
Ma qui il caso è differente. Ho la z.
Cosi io ho pensato questa cosa: dato che il solido di rotazione va da $2pi$ a $-2pi$ vuol dire che passa per z=0 e quindi se ipotizzassi $z=0$ -> $cos(z)=cos(0)=1$ che sostituito nell'esercizio mi farebbe trovare:
$sqrt((x^2)/(4)+(y^2)/(9))=1+2$
ovvero
$(x^2)/(4)+(y^2)/(9)=9$
e dividendo tutto per 9, mi ricondurrebbe (sempre se non ho sbagliato i calcoli) alla forma classica:
$(x^2)/(36)+(y^2)/(81)=1$ dove a=6 e b=9, il che confermerebbe il disegno del prof.
E' un ragionamento corretto? E soprattutto, è applicabile sempre?

Spero sia stato abbastanza chiaro
Ringrazio in anticipo

[Quinzio]

Ma direi che quello che hai scritto è tutto corretto. L'ellisse si allarga e si restringe seguendo l'andamento del coseno.
Mi sembra tutto ok.
complimenti per i disegni.

[mikelozzo]

Quindi il ragionamento, se giusto, è applicabile sempre (chiaramente se non passa per 0 prenderei come valore uno intermedio che mi faccia semplificare qualcosa come in questo caso per il coseno)?
Per i disegni, grazie.. in genere sono abbastanza ordinato