Chiarimento Coseno

[Roger.17]

Ciao Ragazzi vi può sembrare una sciocchezza ma non mi è chiaro come muovermi per risolvere questo

$ (cos((npi)/4))^2 $ so che oscilla tra $0$, $1/2$ e $1$


vi ringrazio

[Lo_zio_Tom]

non si vede nulla

[Roger.17]

$ sum_{k=0}^N (cos((npi)/4))^2/(2^n) $ so che oscilla tra $0$, $1/2$ e $1$


vi ringrazio

[Cmax1]

Non ho capito se devi calcolare la somma finita o la serie. Se si tratta di sommare la serie, è un esercizio standard. Chiaramente la serie è assolutamente convergente (è maggiorata dalla serie geometrica), quindi puoi suddividerla nelle sue componenti più opportune. Come hai già notato,

\begin{equation}
\cos^2(\frac{n\pi}{4}) = \bigg \{ \begin{array} \\ 1 & \text{ se } n=4k \\ 0 & \text{ se } n = 4k+2 \\ \frac{1}{2} & \text{ se } n=2k+1 \end{array}
\end{equation}

Per $k=0,1, ...$ le tre condizioni su $n$ costituiscono una partizione dei numeri naturali. Per il primo termine si ha il contributo $\sum_k \frac{1}{2^{4k}} = \frac{1}{1-\frac{1}{2^4}} = \frac{16}{15}$, il secondo termine dà un contributo nullo, il terzo è invece $sum_k \frac{1}{2} \frac{1}{2^{2k+1}} =\frac{1}{4} \sum_k \frac{1}{2^{2k}}=\frac{1}{4} \frac{1}{1 - frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$.
La somma cercata è quindi $\frac{16}{15} +\frac{1}{3}=\frac{7}{5}$, un risultato che puoi controllare direttamente sul sito http://www.wolframalpha.com/.