Chiarimento
salve,
mi spiegate in parole semplici la funzione di Dirichlet e la funzione signum?
Perchè la f. di Dirichlet non si può graficare?
Grazie 1000
mi spiegate in parole semplici la funzione di Dirichlet e la funzione signum?
Perchè la f. di Dirichlet non si può graficare?
Grazie 1000
Risposte
Funzione di Dirichlet:
$D:RR -> {0,1}$ ove $D(x) := 0$ se $x in QQ$ , $D(x) := 1$ se $x in RR$ \ $QQ$
In altri termini, $D$ vale $0$ sui razionali e vale $1$ sugli irrazionali.
Non si può graficare perchè se si prendono, ad esempio, due razionali $a < b$ "vicini" a piacere (cioè due punti dove $D$ vale $0$), tra di loro ci sarà almeno un irrazionale $c$ (*) (cioè un punto dove $D$ vale $1$). Stesso discorso tra $a$ e $c$, ove ci sarà un razionale...
Il mio docente di Analisi uno si riferiva alla funzione di Dirichlet chiamandola "piccolo mostro" (
), poichè essa è discontinua in ogni punto del dominio.
Per la funzione signum, consiglio il caro vecchio Wikipedia.
Link:http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_segno
(*) proprietà di densità degli irrazionali (e poi dei razionali) in $RR$.
$D:RR -> {0,1}$ ove $D(x) := 0$ se $x in QQ$ , $D(x) := 1$ se $x in RR$ \ $QQ$
In altri termini, $D$ vale $0$ sui razionali e vale $1$ sugli irrazionali.
Non si può graficare perchè se si prendono, ad esempio, due razionali $a < b$ "vicini" a piacere (cioè due punti dove $D$ vale $0$), tra di loro ci sarà almeno un irrazionale $c$ (*) (cioè un punto dove $D$ vale $1$). Stesso discorso tra $a$ e $c$, ove ci sarà un razionale...
Il mio docente di Analisi uno si riferiva alla funzione di Dirichlet chiamandola "piccolo mostro" (
), poichè essa è discontinua in ogni punto del dominio.Per la funzione signum, consiglio il caro vecchio Wikipedia.
Link:http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_segno
(*) proprietà di densità degli irrazionali (e poi dei razionali) in $RR$.
La funzione di Dirichlet è una funzione definita nel seguente modo:
$f(x)=$ $\{(0 if x in QQ), (1 if x in RR-QQ):}$ [però forse può essere anche tutto al contrario, non mi ricordo bene, ma non cambia molto]
Quindi, dovresti disegnare un grafico che presenta tutti 0 quando il valore x é razionale, (cioè quando vale 1/2, 1/4 e così via)
e 1 quando x è irrazionale, come ad esempio $sqrt2$, $pi$ ecc...Tale funzione non è continua, perchè presenta continui salti.
Infatti: se $x_o in QQ$, possiamo applicare la densità di $RR - QQ in RR$ per dire che possiamo sempre trovare un punto $x$ irrazionale vicino a $x_0 in QQ$, e quindi viene $|f(x)-f(x_0)|=1$, e la definizione di continuità non viene rispettata perchè, sceglendo ad esempio $\epsilon = 1/2$, si ha $ |f(x)-f(x_0)|>\epsilon \Rightarrow$ nei punti razionali non c'è continuità.
Se invece $x_0 in RR-QQ$ possiamo sfruttare la proprietà di densità di $QQ$ in $RR$ per dire allo stesso modo che possiamo trovare una $x in QQ$ che è vicina a $x_0 in RR-QQ$, e quindi allo stesso modo nei punti irrazionali non c'è continuità.
In definitiva non puoi mai disegnare una funzione che non è continua in nessun punto...
Spero che sia chiaro.
EDIT: corretto.
$f(x)=$ $\{(0 if x in QQ), (1 if x in RR-QQ):}$ [però forse può essere anche tutto al contrario, non mi ricordo bene, ma non cambia molto]
Quindi, dovresti disegnare un grafico che presenta tutti 0 quando il valore x é razionale, (cioè quando vale 1/2, 1/4 e così via)
e 1 quando x è irrazionale, come ad esempio $sqrt2$, $pi$ ecc...Tale funzione non è continua, perchè presenta continui salti.
Infatti: se $x_o in QQ$, possiamo applicare la densità di $RR - QQ in RR$ per dire che possiamo sempre trovare un punto $x$ irrazionale vicino a $x_0 in QQ$, e quindi viene $|f(x)-f(x_0)|=1$, e la definizione di continuità non viene rispettata perchè, sceglendo ad esempio $\epsilon = 1/2$, si ha $ |f(x)-f(x_0)|>\epsilon \Rightarrow$ nei punti razionali non c'è continuità.
Se invece $x_0 in RR-QQ$ possiamo sfruttare la proprietà di densità di $QQ$ in $RR$ per dire allo stesso modo che possiamo trovare una $x in QQ$ che è vicina a $x_0 in RR-QQ$, e quindi allo stesso modo nei punti irrazionali non c'è continuità.
In definitiva non puoi mai disegnare una funzione che non è continua in nessun punto...
Spero che sia chiaro.
EDIT: corretto.
"FireXl":
...e 1 quando x è irrazionale, come ad esempio 10/3...
Immagino si tratti di una piccola svista...
ehm Si 
ho pensato $sqrt2$ e ho scritto 10/3...Grazie della correzione
ho pensato $sqrt2$ e ho scritto 10/3...Grazie della correzione
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