Chiarimenti sulle funzioni trigonometriche
Ciao! Innanzitutto buona domenica. Volevo alcuni chiarimenti sulle funzioni trigonometriche:
1) perchè per $ sin(x)=-1 $ posso scrivere $ x=-pi/2+2kpi $, mentre per $ cos(x)=-1\ x=pi+2kpi $ e non $ x=-pi+2kpi $?
2) perché in alcuni casi metto $ +kpi $ e non $ +2kpi $?
Poi:
1) perché nelle traslazioni $ f(x+c) $ corrisponde ad una traslazione verso sinistra e non verso destra se $ c>0 $?
2) perché nei cambiamenti di scala $ f(cx) $ è una compressione?
Grazie.
1) perchè per $ sin(x)=-1 $ posso scrivere $ x=-pi/2+2kpi $, mentre per $ cos(x)=-1\ x=pi+2kpi $ e non $ x=-pi+2kpi $?
2) perché in alcuni casi metto $ +kpi $ e non $ +2kpi $?
Poi:
1) perché nelle traslazioni $ f(x+c) $ corrisponde ad una traslazione verso sinistra e non verso destra se $ c>0 $?
2) perché nei cambiamenti di scala $ f(cx) $ è una compressione?
Grazie.
Risposte
Ciao
rispondo per ordine alle tue due domande per questione di fretta (devo scappare
) :
per quanto riguarda "perchè per $sin(x)=-1 ...$" etc.
poniti per prima cosa la seguente domanda, prendendo valori di angolo compresi tra $0$ e [tex]2\pi[/tex]
quindi un "giro" soltanto (quindi detto in termini più matematici dovrei dire [tex]0 \leq x \leq 2\pi[/tex]) qual'è quell'angolo (o quei angoli) per cui il seno è pari a $-1$? soltanto $x = 3/2 pi$
che puoi vedere come $x = - pi/2$.
se adesso estendiamo il ragionamento ad angoli anche maggiori di un angolo giro, ovvero angoli maggiori di $2 pi$ notiamo che, dato che avevamo un solo angolo che ci dava quella soluzione, gli angoli successivi saranno $x = 3/2 pi$ più qualsiasi multiplo di $2 pi$
quindi la soluzione diventa $x = 3/2 pi + k \cdot 2 pi$ dove $k$ è un intero qualsiasi; che puoi riscrivere come $x = 3/4 pi + 2k pi$ oppure nella forma $x = - pi/2 + 2k pi$
per quanto riguarda il coseno il ragionamento è lo stesso. una circonferenza goniometrica hai che $cos(pi) = cos(-pi) = -1$ $cos(x) = -1$ ha come risposta $x = \pm pi$ ed ovviamente più tutti i multipli di $2 pi $ quindi $x = \pm pi + 2k pi$
questo ragionamento si può anche dedurre dal fatto che il coseno è una funzione pari quindi $cos(-x) = cos(x)$ sempre. Quindi che tu prenda come risultato $pi$ o $-pi$ non cambia nulla.
Poi chiedi perchè alle volte si usa $+2k pi$ mentre in altri casi $+k pi$. Questi due multipli si prendono a seconda che tu debba sommare un multiplo di 180 gradi o di 360 gradi.
Nell'esercizio di prima con il seno abbiamo visto che il risultato era $-pi/2$ più un qualsiasi multiplo intero di angolo giro ($2 pi$)
ma se la domanda fosse stata "per quale valore di $x$ si ha che $sin(x) = 0$???
facendo il ragionamento di prima noti che il seno si annulla per $x = 0$ e per $x=pi$ più un qualsiasi multiplo di angolo piatto (ovvero di $pi$)
quindi la soluzione è $x = 0+ k pi$ senza il $2$ perchè non è necessario che sia un multiplo pari di $pi$
rispondo per ordine alle tue due domande per questione di fretta (devo scappare
) :per quanto riguarda "perchè per $sin(x)=-1 ...$" etc.
poniti per prima cosa la seguente domanda, prendendo valori di angolo compresi tra $0$ e [tex]2\pi[/tex]
quindi un "giro" soltanto (quindi detto in termini più matematici dovrei dire [tex]0 \leq x \leq 2\pi[/tex]) qual'è quell'angolo (o quei angoli) per cui il seno è pari a $-1$? soltanto $x = 3/2 pi$
che puoi vedere come $x = - pi/2$.
se adesso estendiamo il ragionamento ad angoli anche maggiori di un angolo giro, ovvero angoli maggiori di $2 pi$ notiamo che, dato che avevamo un solo angolo che ci dava quella soluzione, gli angoli successivi saranno $x = 3/2 pi$ più qualsiasi multiplo di $2 pi$
quindi la soluzione diventa $x = 3/2 pi + k \cdot 2 pi$ dove $k$ è un intero qualsiasi; che puoi riscrivere come $x = 3/4 pi + 2k pi$ oppure nella forma $x = - pi/2 + 2k pi$
per quanto riguarda il coseno il ragionamento è lo stesso. una circonferenza goniometrica hai che $cos(pi) = cos(-pi) = -1$ $cos(x) = -1$ ha come risposta $x = \pm pi$ ed ovviamente più tutti i multipli di $2 pi $ quindi $x = \pm pi + 2k pi$
questo ragionamento si può anche dedurre dal fatto che il coseno è una funzione pari quindi $cos(-x) = cos(x)$ sempre. Quindi che tu prenda come risultato $pi$ o $-pi$ non cambia nulla.
Poi chiedi perchè alle volte si usa $+2k pi$ mentre in altri casi $+k pi$. Questi due multipli si prendono a seconda che tu debba sommare un multiplo di 180 gradi o di 360 gradi.
Nell'esercizio di prima con il seno abbiamo visto che il risultato era $-pi/2$ più un qualsiasi multiplo intero di angolo giro ($2 pi$)
ma se la domanda fosse stata "per quale valore di $x$ si ha che $sin(x) = 0$???
facendo il ragionamento di prima noti che il seno si annulla per $x = 0$ e per $x=pi$ più un qualsiasi multiplo di angolo piatto (ovvero di $pi$)
quindi la soluzione è $x = 0+ k pi$ senza il $2$ perchè non è necessario che sia un multiplo pari di $pi$
"Summerwind78":
.... soltanto $x = 3/4 pi$
che puoi vedere come $x = - pi/2$.
.....
gli angoli successivi saranno $x = 3/4 pi$ più qualsiasi multiplo di $2 pi$
quindi la soluzione diventa $x = 3/4 pi + k \cdot 2 pi$ dove $k$ è un intero qualsiasi; che puoi riscrivere come $x = 3/4 pi + 2k pi$ oppure nella forma $x = - pi/2 + 2k pi$
...
Non è $x = 3/4 pi$, ma $x = 3/2 pi$
Corretto, scritto sbagliato la prima volta e poi "copia e incolla"
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