Chiarimenti sulla sigma algebra prodotto
Ciao a tutti, ho bisogno di alcuni chiarimenti sulle sigma algebre prodotto perché ho molta confusione in testa...
Allora, siano $(X,F)$, $(Y,G)$ due spazi misurabili. Da definizione, $F \otimes G = sigma(A xx B, \quad A in F, B in G)$
Le domande sono:
1) Se $A in F$ e $B in G$, $A xx B in F \otimes G$? (direi proprio di si, no?)
2) Dato $E in X xx Y$, dette $E_x = ( y in Y | (x,y) in E)$ e $E_y =( x in X | (x,y) in E)$ le sezioni di $E$, è vero che:
2a) Se $E in F \otimes G$ allora $E_y in G$ e $E_x in F$ ?
2b) Se $E_y in G$ e $E_x in F$ allora $E in F \otimes G$ ?
3) Dato $E in X xx Y$, dette $pi_1: X xx Y to X$ ($pi_1(x,y) = x$) e $pi_2: X xx Y to Y$ ($pi_2(x,y) = y$) le proiezioni classiche, è vero che:
3a) Se $E in F \otimes G$ allora $pi_1(E) in F$ e $pi_2(E) in G$ ?
3b) Se $pi_1(E) in F$ e $pi_2(E) in G$ allora $E in F \otimes G$ ?
Grazie mille, sto impazzendo
Allora, siano $(X,F)$, $(Y,G)$ due spazi misurabili. Da definizione, $F \otimes G = sigma(A xx B, \quad A in F, B in G)$
Le domande sono:
1) Se $A in F$ e $B in G$, $A xx B in F \otimes G$? (direi proprio di si, no?)
2) Dato $E in X xx Y$, dette $E_x = ( y in Y | (x,y) in E)$ e $E_y =( x in X | (x,y) in E)$ le sezioni di $E$, è vero che:
2a) Se $E in F \otimes G$ allora $E_y in G$ e $E_x in F$ ?
2b) Se $E_y in G$ e $E_x in F$ allora $E in F \otimes G$ ?
3) Dato $E in X xx Y$, dette $pi_1: X xx Y to X$ ($pi_1(x,y) = x$) e $pi_2: X xx Y to Y$ ($pi_2(x,y) = y$) le proiezioni classiche, è vero che:
3a) Se $E in F \otimes G$ allora $pi_1(E) in F$ e $pi_2(E) in G$ ?
3b) Se $pi_1(E) in F$ e $pi_2(E) in G$ allora $E in F \otimes G$ ?
Grazie mille, sto impazzendo
Risposte
"gygabyte017":
Ciao a tutti, ho bisogno di alcuni chiarimenti sulle sigma algebre prodotto perché ho molta confusione in testa...
Allora, siano $(X,F)$, $(Y,G)$ due spazi misurabili. Da definizione, $F \otimes G = sigma(A xx B, \quad A in F, B in G)$
Le domande sono:
1) Se $A in F$ e $B in G$, $A xx B in F \otimes G$? (direi proprio di si, no?)
Per definizione?
"gygabyte017":
2) Dato $E in X xx Y$, dette $E_x = ( y in Y | (x,y) in E)$ e $E_y =( x in X | (x,y) in E)$ le sezioni di $E$, è vero che:
2a) Se $E in F \otimes G$ allora $E_y in G$ e $E_x in F$ ?
2b) Se $E_y in G$ e $E_x in F$ allora $E in F \otimes G$ ?
Per la 2b, credo di sì.
Per la 2a, credo di no. Infatti prendi in [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] l'insieme [tex]$E:=C\times \{ 0\}$[/tex], ove [tex]$C\subseteq \mathbb{R}$[/tex] è un insieme non misurabile limitato: l'insieme [tex]$E$[/tex] ha misura nulla (fondamentalmente, lo puoi racchiudere in rettangoli sempre più schiacciati, quindi con misura piccola a piacere), ma la sezione [tex]$E^0$[/tex] non è misurabile.
Però la 2a funziona col q.o., probabilmente... Prova a leggere su qualche libro di teoria.
"gygabyte017":
3) Dato $E in X xx Y$, dette $pi_1: X xx Y to X$ ($pi_1(x,y) = x$) e $pi_2: X xx Y to Y$ ($pi_2(x,y) = y$) le proiezioni classiche, è vero che:
3a) Se $E in F \otimes G$ allora $pi_1(E) in F$ e $pi_2(E) in G$ ?
3b) Se $pi_1(E) in F$ e $pi_2(E) in G$ allora $E in F \otimes G$ ?
Probabilmente riesci ad adattarti un controesempio da quello fatto più sopra.
Rispondo alle domande facili:
1) Eh beh certo. Se non fosse così che razza di prodotto avremmo definito?
2a) E' vero. Così su due piedi non te lo saprei dimostrare ma sono sicuro che è vero.
2b) Questo non lo so. A naso direi di no: anche se tutte le sezioni di $E$ sono misurabili, comunque sia potrebbe essere che $E$ non è misurabile. Ma, ripeto: a naso.
3) (qua mi mandi proprio nel pallone!)
3a) Come per la 2a. Sarà vero, penso: io proverei a osservare che la proprietà vale per i rettangoli misurabili e a trovare un trucco per estendere a tutta la sigma-algebra $F otimes G$.
3b) Come per la 2b. Qui sono maggiormente convinto che la proprietà sia falsa, però.
P.S.: Scrivevo contemporaneamente a Gugo. Vedo che le mie risposte sono tutte diverse dalle sue!
E adesso? 
1) Eh beh certo. Se non fosse così che razza di prodotto avremmo definito?
2a) E' vero. Così su due piedi non te lo saprei dimostrare ma sono sicuro che è vero.
2b) Questo non lo so. A naso direi di no: anche se tutte le sezioni di $E$ sono misurabili, comunque sia potrebbe essere che $E$ non è misurabile. Ma, ripeto: a naso.
3) (qua mi mandi proprio nel pallone!)
3a) Come per la 2a. Sarà vero, penso: io proverei a osservare che la proprietà vale per i rettangoli misurabili e a trovare un trucco per estendere a tutta la sigma-algebra $F otimes G$.
3b) Come per la 2b. Qui sono maggiormente convinto che la proprietà sia falsa, però.
P.S.: Scrivevo contemporaneamente a Gugo. Vedo che le mie risposte sono tutte diverse dalle sue!
E adesso?
E continuiamo con le risate, la questione è affrontata limpidamente a pagina 72 di questa dispensa del professor Angelo Negro (per non creare confusione 
)!
)!
Ho letto le dispense, quindi abbiamo per certo che 2a è vera (grazie per le dispense 
).
Due questioni riguardanti gugo82:
- Visto che abbiamo detto che la 2a è vera, che cosa nel suo controesempio è fallace?
- Perché dici che $C xx {0}$ ha misura nulla, non avendo nessuna misura a priori? Non potrei definire tipo una misura che sui punti non è nulla (tipo la misura che conta)?
).Due questioni riguardanti gugo82:
- Visto che abbiamo detto che la 2a è vera, che cosa nel suo controesempio è fallace?
- Perché dici che $C xx {0}$ ha misura nulla, non avendo nessuna misura a priori? Non potrei definire tipo una misura che sui punti non è nulla (tipo la misura che conta)?
Che [tex]$C\times \{ 0\}$[/tex] abbia misura nulla si vede facilmente...
Anzi, vale di più:
Convinti?
In particolare, non c'è nessuna ipotesi restrittiva sull'insieme [tex]$E$[/tex] (che può essere schifoso a piacere!).
Anzi, vale di più:
Siano [tex]$E\subseteq \mathbb{R}$[/tex] non vuoto e [tex]$\xi \in \mathbb{R}$[/tex].
Gli insiemi [tex]$E\times \{ \xi\}, \{ \xi\}\times E\subseteq \mathbb{R}^2$[/tex] sono misurabili secondo Lebesgue ed hanno misura nulla.
Convinti?
In particolare, non c'è nessuna ipotesi restrittiva sull'insieme [tex]$E$[/tex] (che può essere schifoso a piacere!
).
@gugo: Il tuo controesempio non va bene. Infatti tu non stai usando la sigma-algebra prodotto: stai prendendo la sigma-algebra di Lebesgue su $RR^2$, che è esattamente il completamento del prodotto di due sigma-algebre di Borel. E il tuo insieme $C \times {0}$ non può certo stare nella sigma-algebra prodotto, per quanto sia nel completamento.
"gugo82":
Che [tex]$C\times \{ 0\}$[/tex] abbia misura nulla si vede facilmente...
Convinti?
Convintissimo! ma quello che intendevo è che tu hai appena detto che $E xx {0}$ è misurabile nella sigma algebra di Lebesgue e che ha misura di Lebesgue = 0, ma nei dati iniziali che avevo messo, $F$ è una sigma algebra qualsiasi e non c'è nessuna misura di partenza (visto che la nozione di misurabilità è definita prima ancora della misura, se non sbaglio no?). Quindi mi hai convinto che nei Lebesgue funziona tutto bene, però mi chiedo cosa succeda su sigma algebre più "strane"...
E questa è pure una realtà...
Insomma, stai dicendo che una [tex]$\sigma$[/tex]-algebra prodotto di due [tex]$\sigma$[/tex]-algebre complete può non essere completa.
Questa me la lego al dito!
Insomma, stai dicendo che una [tex]$\sigma$[/tex]-algebra prodotto di due [tex]$\sigma$[/tex]-algebre complete può non essere completa.
Questa me la lego al dito!
Comunque si parla di questo fenomeno su Rudin Real and complex analysis, capitolo 8, paragrafo "Completion of product measures". (@gugo: lo so che tu lo hai già letto, ma c'è anche altra gente qui!)
ok, quindi in definitiva (facciamo un esempio che chiarisce di più ) :
Se per esempio consideriamo, per [tex]a>0[/tex]:
[tex]\mathcal{F} \equiv \mathfrak{B}([0,a])[/tex]
[tex]\mathcal{G} \equiv \lbrace B \subset \mathbb{R}^+ \; | \; B \text{ è al più numerabile oppure } B^c \text{ è al più numerabile} \rbrace[/tex]
sullo spazio prodotto [tex]([0,a], \mathcal{F}) \times (\mathbb{R}^+, \mathcal{G})[/tex],
l'insieme [tex]A = \lbrace (x,x), \; x \in [0,a] \rbrace[/tex] è misurabile rispetto a [tex]\mathcal{F} \otimes \mathcal{G}[/tex]? Con che criteri si può vedere?
) :Se per esempio consideriamo, per [tex]a>0[/tex]:
[tex]\mathcal{F} \equiv \mathfrak{B}([0,a])[/tex]
[tex]\mathcal{G} \equiv \lbrace B \subset \mathbb{R}^+ \; | \; B \text{ è al più numerabile oppure } B^c \text{ è al più numerabile} \rbrace[/tex]
sullo spazio prodotto [tex]([0,a], \mathcal{F}) \times (\mathbb{R}^+, \mathcal{G})[/tex],
l'insieme [tex]A = \lbrace (x,x), \; x \in [0,a] \rbrace[/tex] è misurabile rispetto a [tex]\mathcal{F} \otimes \mathcal{G}[/tex]? Con che criteri si può vedere?
Che intendi per insieme discreto? Al più numerabile?
"j18eos":
Che intendi per insieme discreto? Al più numerabile?
sì hai ragione, ho modificato che così è più chiaro...
Te l'ho chiesto perché qualcuno, come me, intende per discreto un insieme finito.
Comunque ci penserò al problema proposto!
Comunque ci penserò al problema proposto!
Pensandoci, ti consiglierei d'iniziare a determinare [tex]$\mathcal{F}\otimes\mathcal{G}$[/tex]!
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