Chiarimenti sulla condizione necessaria di Cauchy perchè esista, nello spazio X, il lim di una successione $x_n$

[Sk_Anonymous]

ciao

come da titolo, purtroppo trovo difficoltà nel comprendere questa condizione.

ho capito che una successione numerica ha limite finito se è di Cauchy, ma non mi è ben chiara la stessa definizione di successione di Cauchy.. in particolare, a partire dalla comparsa di $x_m$.. non capisco.. rappresenta la successione cui tende $x_n$?
Credo mi servirebbe apprendere il concetto con parole semplici.. qualcuno è in grado di suggerirmi qualche appunto/dispensa? grazie

[DavideGenova1]

La definizione \(\forall\varepsilon\quad\exists N(\varepsilon):\forall m,n\ge N(\varepsilon)\quad d(x_n,x_m)<\varepsilon\) per un generico spazio metrico \((X,d)\), o \(\forall\varepsilon\quad\exists N(\varepsilon):\forall m,n\ge N(\varepsilon)\quad |x_n-x_m|<\varepsilon\) per $\mathbb{R}$ e $\mathbb{C}$, significa che per qualunque $\varepsilon>0$ trovi un indice \(N(\varepsilon)\) a partire dal quale ogni $x_n$ dista da ogni successivo $x_m$ meno di $\varepsilon$, cioè trovi sempre un indice \(N(\varepsilon)\) a partire da cui tutti gli elementi della successione distano da ogni elemento successivo meno di qualunque quantità positiva $\varepsilon$ tu voglia. In effetti non trovo molto semplice esprimerlo in maniera non formale, ma spero di aver reso l'idea...

[Sk_Anonymous]

ringraziarvi è riduttivo