Chiarimenti sul Calcolo infinitesimale

[fab76]

Salve a tutti,
sto leggendo un libro dal titolo "i numeri e le cose"di D. Berlinski, molto interessante e assolutamente consigliato. Lo scopo è addentrarmi e comprendere cosa sia il calcolo infinitesimale. Alle superiori l'ho studiato ma con l'unica finalità di risolvere un limite,una derivata un integrale, senza difatti capirne il senso. Adesso vorrei approfondire i concetti e in questo avrei bisogno di un piccolo aiuto. Il problema è il seguente:
il punto che non risco a cogliere è come sia possibile che una serie convergente posaa dare un risultato finito! è un procedimento che non ha fine in uanto somma di infiniti addendi. Comprendo il senso di dire "una serie ed es. 1/n tende a 1 senza mai raggiungerlo", ma come possa dare un risultato finito non lo capisco.
Spero di avere un vostro chiarimento. grazie

[vict85]

Non per essere pignolo ma la serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) non è convergente.

Ritornando al tuo problema, prova a pensare ad una qualsiasi successione convergente e monotona crescente ad un punto. Per esempio considera la successione \(\displaystyle \Bigl\{\frac{n-1}{n}\Bigr\}_{n\in \mathbb{N}} \). Se tu ora consideri \(\displaystyle a_n = \frac{n-1}{n} - \frac{n-2}{n-1} \) hai che \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n\to \infty}\frac{n-1}{n} = 1\).

[fab76]

Grazie tante.
Ma per capire meglio: senza introdurre il concetto di limite la serie non produrrebbe mai un numero finito? o mi sbaglio?

[vict85]

"ALPHABETAGAMMA":Grazie tante.
Ma per capire meglio: senza introdurre il concetto di limite la serie non produrrebbe mai un numero finito? o mi sbaglio?

Non capisco bene il tuo commento. Senza il concetto di limite non avrebbe senso parlare di serie infinita (anche se il concetto di limite può essere descritto in modi alternativi) se non in termini formali. Il tutto comunque è dipendente dal fatto che i reali sono un insieme denso. È quindi sempre possibile trovare un intero \(\displaystyle c \) tale che \(\displaystyle a

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[gugo82]

@ALPHABETAGAMMA: Tutto dipende dalla definizione di limite.
In Matematica, non c'è alcuna cosa che abbia senso prima di essere definita. Pertanto non ha senso parlare di "somma di una serie" se non si è definito il concetto di limite.

@vict85:

"vict85":Il tutto comunque è dipendente dal fatto che i reali sono un insieme denso. È quindi sempre possibile trovare un intero \(\displaystyle c \) tale che \(\displaystyle a
Mmmm... E come fai con \(a=1/3\) e \(b=1/2\)? O, ancora peggio, con \(a=1/2\) e \(b=1/3\)?

[vict85]

Per capirci per bene, senza il limite (o simili concetti topologici) puoi dire che l'insieme delle somme parziali è limitato ma non puoi parlare di convergenza.

@Gugo - intendevo reale e \(\displaystyle (a,b) \) devono essere tale che \(\displaystyle a

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[fab76]

Faccio un passo indietro: perchè, ad un certo punto della storia della matematica è stato necessario introdurre (o scoprire) il calcolo infinitesimale? quali erano i problemi che non si riuscivano a risolvere?

[gugo82]

Ad esempio, alcuni problemi che stimolarono la fondazione rigorosa del Calcolo furono: la giustificazione della tecnica generale per del calcolo delle aree di Leibniz e Newton (per il quale esistevano procedimenti -vedi l'esaustione di Archimede o il Principio di Cavalieri- molto simili a quelli del Calcolo, ma certmente poco rigorosi); il paradossi legati alla gestione dell'infinito (tipo, la somma di infiniti addendi -tecnica molto usata da Newton ed Eulero- che poggiava su poche giustificazioni non argomentate correttamente); una cattiva fondazione del Calcolo Differenziale Newtoniano su procedimenti algebrici ambiguissimi (vedi le critiche di Berkley al metodo di Newton); etc...

Il problema non era che non si riuscissero a risolvere dei problemi; ma che le soluzioni proposte erano fondate su argomenti fallaci e criticabili.

[fab76]

grazie gugo82. Il punto che attualmente non mi è chiaro è proprio quello che hai indicato
"il paradossi legati alla gestione dell'infinito (tipo, la somma di infiniti addendi".
E' qui che mi sorge il dubbio (a me che matematico non sono), e non riesco a comprendere la soluzione proposta. Intuitivamente penso che la somma di infiniti addendi non potrebbe mai concludersi, pena un'approssimazione, ovvero arbitrariamente decidiamo di interrompere la somma. Non capisco nemmeno come l'introduzione dei limiti, dicendo che la somma infinita di addendi "tende" verso un valore, risolva la questione. Spero in una vostra semplicissima spiegazione. Grazie

[vict85]

Prova a vederla in questo modo, un intervallo aperto non contiene i suoi estremi, eppure li definisce.

[fab76]

"vict85":Prova a vederla in questo modo, un intervallo aperto non contiene i suoi estremi, eppure li definisce.

non l'ho proprio capito

[Raptorista1]

Voglio provare a rispondere ad \(AB\Gamma\) con un esempio di costruzione di una somma infinita che dà risultato finito.
I matematici in questa discussione mi salteranno in testa, ma pazienza

@\(AB\Gamma\)
Dato un numero reale, lo si può sempre dividere in due, giusto?
Allora ti invito a partire da una relazione di estrema sofisticatezza e difficoltà:
\[
2 = 1 + 1
\]
che puoi però riscrivere come
\[
2 = 1 + \frac 1 2 + \frac 1 2.
\]
Per sicurezza, indico ancora un passaggio della ""demonstratio mirabilis""
\[
2 = 1 + \frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 4.
\]
Per quanto detto prima, puoi quindi costruire "a mano" una somma infinita
\[
2 = 1 + \frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 + \dots
\]
la cui somma sai già essere finita.

NOTA BENE: Ciò che ho scritto fa ribrezzo, perché mi sto bellamente fregando di poter passare al limite, di avere convergenza e compagnia bella.

Chiaramente, come già detto dai top player sopra di me, tutto ciò necessita intrinsecamente del concetto di limite, senza il quale stiamo parlando di aria fritta

[fab76]

Grazie!!! ecco cosa mi serviva, una spiegazione del genere!

[gio73]

@Raptorista: così
$\sum_{n=0}^oo (1/(2^n))=2$
potrebbe andare?

[Raptorista1]

@gio: ma quella è solo un'accozzaglia di simboli, a priori privi di significato...

[peppe.carbone.90]

Se posso, vorrei consigliare ad ALPHABETAGAMMA una dispensina scritta dal nostro Amministratore, Luca Lussardi, che forse può fare al caso tuo:

http://www.dmf.unicatt.it/~lussardi/TFA.pdf

Ciao.