Chiarimenti sui concetti di integrali
Ciao a tutti!
Mi sto dedicando ad Analisi 2 ma non riesco a comprendere i concetti dietro agli integrali di Riemann, di Stieltjes, di Lebesgue e curvilinei.
Se non sbaglio, il concetto dell'integrale di Riemann è il calcolare l'area sottesa dal grafico della funzione con l'asse x, dividendo questo in piccoli intervalli che sono le basi di rettangoli che hanno altezza fino alla funzione. Poi si calcolano le aree di tutti i rettangoli e si sommano, e l'area calcolata può essere per eccesso o per difetto.
L'integrale curvilineo, invece, ho capito che equivale alla somma di tutti i valori assunti dalla funzione su una curva e, cambiando la curva, non cambia il valore dell'integrale.
Con Stieltjes e Lebesgue, invece, proprio non ci arrivo. Qualcuno riuscirebbe a chiarirmi i concetti dietro a questi due?
Mi sto dedicando ad Analisi 2 ma non riesco a comprendere i concetti dietro agli integrali di Riemann, di Stieltjes, di Lebesgue e curvilinei.
Se non sbaglio, il concetto dell'integrale di Riemann è il calcolare l'area sottesa dal grafico della funzione con l'asse x, dividendo questo in piccoli intervalli che sono le basi di rettangoli che hanno altezza fino alla funzione. Poi si calcolano le aree di tutti i rettangoli e si sommano, e l'area calcolata può essere per eccesso o per difetto.
L'integrale curvilineo, invece, ho capito che equivale alla somma di tutti i valori assunti dalla funzione su una curva e, cambiando la curva, non cambia il valore dell'integrale.
Con Stieltjes e Lebesgue, invece, proprio non ci arrivo. Qualcuno riuscirebbe a chiarirmi i concetti dietro a questi due?
Risposte
Forse ho capito il concetto di integrale di Lebesgue: è simile a quello di Riemann, ma i rettangoli non sono sviluppati in orizzontale, ma in verticale.
Però con Stieltjes ancora non ci arrivo. Mi pare di capire che la differenza da quello di Riemann sia che si integra non rispetto ad una variabile, ma rispetto ad una funzione. Possibile?
Però con Stieltjes ancora non ci arrivo. Mi pare di capire che la differenza da quello di Riemann sia che si integra non rispetto ad una variabile, ma rispetto ad una funzione. Possibile?
A proposito dell'integrale curvilineo, hai detto che, cambiando la curva, non cambia il valore dell'integrale. Forse intendevi dire cambiando la parametrizzazione della curva.
"serio89":
Forse ho capito il concetto di integrale di Lebesgue: è simile a quello di Riemann, ma i rettangoli non sono sviluppati in orizzontale, ma in verticale.
Però con Stieltjes ancora non ci arrivo. Mi pare di capire che la differenza da quello di Riemann sia che si integra non rispetto ad una variabile, ma rispetto ad una funzione. Possibile?
Tutte le definizioni sono un po' abbozzate, se non quasi sbagliate. Il problema è che affronti l'argomento senza comprendere cos'è la misura.
Ora affrontiamo Riemann e Riemann-Stieltjes semplificando un po'. I due integrali si basano sulla definizione di una "misura" su un particolare tipo di funzioni: le funzioni a scalini, cioè le funzioni costanti a tratti. La "misura" viene scelta in modo da possedere le caratteristiche di linearità, additività e monotonia.
In particolare quindi la funzione costante su tutto l'intervallo possiede una misura di $\alpha(f) = c \alpha(I) $ dove con $\alpha(I)$ intendo la misura della funzione costante unitaria nell'intervallo. In modo analogo una funzione a gradini $f$ è definita come $\alpha(f) = \sum_{i} c_i \alpha(I_i)$ dove $I_i$ sono gli intervalli in cui la funzione è costante e con $alpha(I_i)$ intendo la misura della funzione costante in quell'intervallo.
L'integrale di Riemann-Stieltjes di una funzione $f$ è, se esiste, il limite della misura di ogni successione di funzioni a gradini che ha come limite $f$. In altre parole se $\{f_i\}_{i\in NN}$ è una successione di funzioni a gradini tali che $f_i \to f$ (se non ricordo male uniformemente) allora $\alpha(f) = lim_{i \to \infty}\alpha(f_i)$ sempre che il limite a secondo membro esiste e sia indipendente dalla scelta della successione. L'integrale di Riemann pone come $\alpha(I)$ la lunghezza dell'intervallo ma sono possibili altre scelte.
P.S: Ho messo misura tra virgolette perché non ho assolutamente definito cos'è. Per certi versi la considero come una funzione che associa ad ogni funzione di una determinata classe di funzioni definite su un sottoinsieme di $RR$ limitato un certo numero reale.
P.S2: Spero di non aver detto troppe ****
Grazie per le risposte! 
Sì, purtroppo abbiamo fatto queste cose in modo rapido e confuso (Riemann escluso) e non ci ho capito quasi niente. L'integrale curvilineo devo anche riuscire a capire come si calcola, ma il professore ci ha fatto solo tre esercizi.
Tutte le definizioni sono un po' abbozzate, se non quasi sbagliate. Il problema è che affronti l'argomento senza comprendere cos'è la misura.
Ora affrontiamo Riemann e Riemann-Stieltjes semplificando un po'. I due integrali si basano sulla definizione di una "misura" su un particolare tipo di funzioni: le funzioni a scalini, cioè le funzioni costanti a tratti. La "misura" viene scelta in modo da possedere le caratteristiche di linearità, additività e monotonia.
In particolare quindi la funzione costante su tutto l'intervallo possiede una misura di $\alpha(f) = c \alpha(I) $ dove con $\alpha(I)$ intendo la misura della funzione costante unitaria nell'intervallo. In modo analogo una funzione a gradini $f$ è definita come $\alpha(f) = \sum_{i} c_i \alpha(I_i)$ dove $I_i$ sono gli intervalli in cui la funzione è costante e con $alpha(I_i)$ intendo la misura della funzione costante in quell'intervallo.
L'integrale di Riemann-Stieltjes di una funzione $f$ è, se esiste, il limite della misura di ogni successione di funzioni a gradini che ha come limite $f$. In altre parole se $\{f_i\}_{i\in NN}$ è una successione di funzioni a gradini tali che $f_i \to f$ (se non ricordo male uniformemente) allora $\alpha(f) = lim_{i \to \infty}\alpha(f_i)$ sempre che il limite a secondo membro esiste e sia indipendente dalla scelta della successione. L'integrale di Riemann pone come $\alpha(I)$ la lunghezza dell'intervallo ma sono possibili altre scelte.
P.S: Ho messo misura tra virgolette perché non ho assolutamente definito cos'è. Per certi versi la considero come una funzione che associa ad ogni funzione di una determinata classe di funzioni definite su un sottoinsieme di $RR$ limitato un certo numero reale.
P.S2: Spero di non aver detto troppe ****[/quote]
Il problema è che il concetto di distanza non me lo ha nemmeno mai accennato nessuno. Ne ho letto un po' su internet, ma né alle superiori né all'università mi è mai stato introdotto.
Se ho capito bene la tua spiegazione di Stieltjes, quindi, "divido" la funzione da integrare in una successione di funzioni a gradini, ed il valore dell'integrale corrisponde al limite che hai scritto. Giusto?
Ma quindi la funzione integratrice dove interviene?
"speculor":
A proposito dell'integrale curvilineo, hai detto che, cambiando la curva, non cambia il valore dell'integrale. Forse intendevi dire cambiando la parametrizzazione della curva.
Sì, purtroppo abbiamo fatto queste cose in modo rapido e confuso (Riemann escluso) e non ci ho capito quasi niente. L'integrale curvilineo devo anche riuscire a capire come si calcola, ma il professore ci ha fatto solo tre esercizi.
"vict85":
[quote="serio89"]Forse ho capito il concetto di integrale di Lebesgue: è simile a quello di Riemann, ma i rettangoli non sono sviluppati in orizzontale, ma in verticale.
Però con Stieltjes ancora non ci arrivo. Mi pare di capire che la differenza da quello di Riemann sia che si integra non rispetto ad una variabile, ma rispetto ad una funzione. Possibile?
Tutte le definizioni sono un po' abbozzate, se non quasi sbagliate. Il problema è che affronti l'argomento senza comprendere cos'è la misura.
Ora affrontiamo Riemann e Riemann-Stieltjes semplificando un po'. I due integrali si basano sulla definizione di una "misura" su un particolare tipo di funzioni: le funzioni a scalini, cioè le funzioni costanti a tratti. La "misura" viene scelta in modo da possedere le caratteristiche di linearità, additività e monotonia.
In particolare quindi la funzione costante su tutto l'intervallo possiede una misura di $\alpha(f) = c \alpha(I) $ dove con $\alpha(I)$ intendo la misura della funzione costante unitaria nell'intervallo. In modo analogo una funzione a gradini $f$ è definita come $\alpha(f) = \sum_{i} c_i \alpha(I_i)$ dove $I_i$ sono gli intervalli in cui la funzione è costante e con $alpha(I_i)$ intendo la misura della funzione costante in quell'intervallo.
L'integrale di Riemann-Stieltjes di una funzione $f$ è, se esiste, il limite della misura di ogni successione di funzioni a gradini che ha come limite $f$. In altre parole se $\{f_i\}_{i\in NN}$ è una successione di funzioni a gradini tali che $f_i \to f$ (se non ricordo male uniformemente) allora $\alpha(f) = lim_{i \to \infty}\alpha(f_i)$ sempre che il limite a secondo membro esiste e sia indipendente dalla scelta della successione. L'integrale di Riemann pone come $\alpha(I)$ la lunghezza dell'intervallo ma sono possibili altre scelte.
P.S: Ho messo misura tra virgolette perché non ho assolutamente definito cos'è. Per certi versi la considero come una funzione che associa ad ogni funzione di una determinata classe di funzioni definite su un sottoinsieme di $RR$ limitato un certo numero reale.
P.S2: Spero di non aver detto troppe ****
[/quote]Il problema è che il concetto di distanza non me lo ha nemmeno mai accennato nessuno. Ne ho letto un po' su internet, ma né alle superiori né all'università mi è mai stato introdotto.
Se ho capito bene la tua spiegazione di Stieltjes, quindi, "divido" la funzione da integrare in una successione di funzioni a gradini, ed il valore dell'integrale corrisponde al limite che hai scritto. Giusto?
Ma quindi la funzione integratrice dove interviene?
La definizione usualmente usata non è proprio quella. Generalmente si considerano l'insieme delle funzioni a gradini che stanno sotto la funzione $f$ e l'insieme di quelle che stanno sopra. Il valore dell'integrale è uguale, se coincidono, al \(\sup\) del valore dell'integrale delle funzioni che stanno sopra e all'\(\inf\) dell'integrale di quelle che stanno sotto. La mia è equivalente.
Di fatto tu hai definito l'integrale di un certo numero di funzioni "elementari" e definisci il concetto di integrale di una funzione $f$ approssimabile con le funzioni elementari come il limite, se esiste, dell'integrale delle funzioni elementari che l'approssimano. Il concetto di misura è più complesso e io sto semplificando. Comunque fare Lebesgue senza aver fatto teoria della misura mi sembra abbastanza strano.
Per capire comunque il perché alle volte ha senso usare Riemann-Stieltjes (Labesgue-Stieltjes è leggermente diverso ma simile) è quello di calcolare il peso si un oggetto che è fatto come la zona sottesa da una funzione $f$. Se la densità è costante allora ti basta moltiplicare l'area per la densità e hai finito. Ma se la densità non è costante all'ora l'aumento di peso dato dall'area infinitesima dipende dalla densità di quell'area. Non so se mi spiego.
P.S: ho detto misura, non distanza. Una metrica e una misura sono concetti connessi ma non sono la stessa cosa.
Di fatto tu hai definito l'integrale di un certo numero di funzioni "elementari" e definisci il concetto di integrale di una funzione $f$ approssimabile con le funzioni elementari come il limite, se esiste, dell'integrale delle funzioni elementari che l'approssimano. Il concetto di misura è più complesso e io sto semplificando. Comunque fare Lebesgue senza aver fatto teoria della misura mi sembra abbastanza strano.
Per capire comunque il perché alle volte ha senso usare Riemann-Stieltjes (Labesgue-Stieltjes è leggermente diverso ma simile) è quello di calcolare il peso si un oggetto che è fatto come la zona sottesa da una funzione $f$. Se la densità è costante allora ti basta moltiplicare l'area per la densità e hai finito. Ma se la densità non è costante all'ora l'aumento di peso dato dall'area infinitesima dipende dalla densità di quell'area. Non so se mi spiego.
P.S: ho detto misura, non distanza. Una metrica e una misura sono concetti connessi ma non sono la stessa cosa.
Più che fatti, di questi integrali ci ha dato le definizioni e sono queste che dobbiamo sapere, più il saper spiegare che cosa significano.
Comunque, se ho capito bene la tua spiegazione, le funzioni elementari si ricavano dalla funzione integratrice. O sbaglio?
Comunque, se ho capito bene la tua spiegazione, le funzioni elementari si ricavano dalla funzione integratrice. O sbaglio?
Mi sa che ti sto solo creando confusione.
Tu hai l'insieme delle funzioni da $[a,b]$ in $RR$ e tu vuoi definire l'integrale definito su $[a,b]$. Quello che tu fai è definire l'integrale di funzioni semplici e poi, attraverso queste definire quello di funzioni più complesse. Un po' come definire la base di una topologia. Per l'integrale di Riemann le funzioni in questione sono le funzioni a gradini (per labesgue le cose sono più complesse). Ma mi sa che un approccio tipo quello di wiki ti possa essere più chiaro: http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_ ... -Stieltjes
Cercando di semplificare rappresenta il calcolo dell'integrale di Riemann in cui però i punti non hanno tutti la stessa importanza.
Tu hai l'insieme delle funzioni da $[a,b]$ in $RR$ e tu vuoi definire l'integrale definito su $[a,b]$. Quello che tu fai è definire l'integrale di funzioni semplici e poi, attraverso queste definire quello di funzioni più complesse. Un po' come definire la base di una topologia. Per l'integrale di Riemann le funzioni in questione sono le funzioni a gradini (per labesgue le cose sono più complesse). Ma mi sa che un approccio tipo quello di wiki ti possa essere più chiaro: http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_ ... -Stieltjes
Cercando di semplificare rappresenta il calcolo dell'integrale di Riemann in cui però i punti non hanno tutti la stessa importanza.
Quella pagina l'avevo già letta tre volte, ma al concetto non ci arrivo. A questo punto mi sa che rinuncio.
Per gli altri integrali, invece, più o meno ci sono?
Edit: Forse ho capito: nell'integrale di Stieltjes dividiamo l'intervallo in cui è definita la funzione da integrare in tante decomposizioni, e in ognuna di queste decomposizione la funzione integratrice assume un valore costante e risulta quindi una funzione a gradini. Quindi usiamo questa per calcolare l'area sottesa dalla funzione integranda e l'asse delle x.
Più o meno il concetto è questo?
Per gli altri integrali, invece, più o meno ci sono?
Edit: Forse ho capito: nell'integrale di Stieltjes dividiamo l'intervallo in cui è definita la funzione da integrare in tante decomposizioni, e in ognuna di queste decomposizione la funzione integratrice assume un valore costante e risulta quindi una funzione a gradini. Quindi usiamo questa per calcolare l'area sottesa dalla funzione integranda e l'asse delle x.
Più o meno il concetto è questo?
"serio89":
Quella pagina l'avevo già letta tre volte, ma al concetto non ci arrivo. A questo punto mi sa che rinuncio.
Per gli altri integrali, invece, più o meno ci sono?
Edit: Forse ho capito: nell'integrale di Stieltjes dividiamo l'intervallo in cui è definita la funzione da integrare in tante decomposizioni, e in ognuna di queste decomposizione la funzione integratrice assume un valore costante e risulta quindi una funzione a gradini. Quindi usiamo questa per calcolare l'area sottesa dalla funzione integranda e l'asse delle x.
Più o meno il concetto è questo?
Ehm, no. Si, ti sto confondendo.
Allora pensa all'integrale di Riemann. Tu hai la funzione $f$ da integrare o se preferisci vuoi determinare l'area sotto la curva $f$ in un intervallo. Per farlo tu dividi l'intervallo in piccoli intervallini più piccoli e prendi un valore di $f$ all'interno di questo segmento che "rappresenti" $f$. Ora se raffiniamo questa approssimazione (aumentiamo il numero di intervallini) la somma delle aree di questi intervallini diventano sempre più vicine a quella della funzione $f$. Questo è il principio che sta alla base di Riemann. Ora il mio "metodo" consisteva nel definire l'area di una funzione a scalini (che è uguale alla somma dei rettangolini che la "compongono") e approssimare $f$ usando questo tipo di funzioni. Hai capito ora che intendevo?
L'integrale di Stieltjes consiste nel calcolare diversamente l'area di quei rettangoli (e quindi anche della funzione a gradini) in particolare questo calcolo dipende dalla funzione integratrice. Dal punto di vista del motivo per farlo è che non ogni punto della funzione partecipa nella stessa misura al calcolo dell'"area". Inoltre se vuoi in qualche modo è una generalizzazione del concetto di cambio di variabili di un integrale.
Ah, ok!
Quindi il concetto è equivalente a quello dell'integrale di Riemann, ma con Stieltjes l'area dei rettangoli dipende dalla funzione integratrice.
Invece, per gli altri integrali (curvilineo e di Lebesgue) più o meno ci ho preso?
Quindi il concetto è equivalente a quello dell'integrale di Riemann, ma con Stieltjes l'area dei rettangoli dipende dalla funzione integratrice.
Invece, per gli altri integrali (curvilineo e di Lebesgue) più o meno ci ho preso?
"serio89":
Ah, ok!
Quindi il concetto è equivalente a quello dell'integrale di Riemann, ma con Stieltjes l'area dei rettangoli dipende dalla funzione integratrice.
Invece, per gli altri integrali (curvilineo e di Lebesgue) più o meno ci ho preso?
Esistono gli integrali di Riemann-Stieltjes e Labesgue-Stieltjes. Uno è la generalizzazione di uno e l'altro dell'altro. Comunque diciamo che il secondo è analogo quindi se capisci uno hai capito l'altro. Labesgue generalmente ha una definizione più corposa ma per i tuoi scopi va bene. L'integrale curvilinea ha quel senso.
Perfetto.
Grazie di tutto!
Grazie di tutto!
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