Chiarimenti su teorema di Stokes
Salve a tutti, ho dei dubbi per quanto riguarda il teorema come da titolo.
Il dubbio risiede in questo fatto:
Supponiamo che io ho la superficie $x^2+y^2+z^2=1$ e $x>=0$
E voglio calcolare il flusso del rotore di un certo campo $E$ attraverso questa superficie.
Nel caso in cui stavo studiando l'esercizio, il campo vettoriale rendeva decisamente conveniente la scelta di supporre il dominio $D$ appartenere al piano $x=0$ e dunque $\dD$ è una semicirconferenza.
Il mio dubbio risiede in questo: supposto di avere quella superficie, io sono libero di dire che il dominio $D$ vive ad esempio nel piano $y=0$ e quindi avere un dominio e bordo diverso?
In questo caso specifico credo che io non possa farlo a causa della condizione $x>=0$ , però in assenza di essa credo che sia lecito, dato che io della superficie non ho una rappresentazione parametrica e posso scegliere quella che più preferisco, o comunque anche se la avessi avuta, allora avrei potuto trasformare il tutto con un cambiamento ammissibile di parametro.
Grazie mille e perdonatemi se la domanda vi sembra banale, ma vorrei avere ben chiaro questo punto che mi sta creando parecchie difficoltà.
Il dubbio risiede in questo fatto:
Supponiamo che io ho la superficie $x^2+y^2+z^2=1$ e $x>=0$
E voglio calcolare il flusso del rotore di un certo campo $E$ attraverso questa superficie.
Nel caso in cui stavo studiando l'esercizio, il campo vettoriale rendeva decisamente conveniente la scelta di supporre il dominio $D$ appartenere al piano $x=0$ e dunque $\dD$ è una semicirconferenza.
Il mio dubbio risiede in questo: supposto di avere quella superficie, io sono libero di dire che il dominio $D$ vive ad esempio nel piano $y=0$ e quindi avere un dominio e bordo diverso?
In questo caso specifico credo che io non possa farlo a causa della condizione $x>=0$ , però in assenza di essa credo che sia lecito, dato che io della superficie non ho una rappresentazione parametrica e posso scegliere quella che più preferisco, o comunque anche se la avessi avuta, allora avrei potuto trasformare il tutto con un cambiamento ammissibile di parametro.
Grazie mille e perdonatemi se la domanda vi sembra banale, ma vorrei avere ben chiaro questo punto che mi sta creando parecchie difficoltà.
Risposte
Non puoi cambiare liberamente il dominio di integrazione, ma il tuo ragionamento non mi è chiaro. Se togli la condizione \(x \geq 0\) ottieni una superficie chiusa e quindi senza bordo. Se cambi questa condizione il problema che stai risolvendo sarà diverso.
Ciao e grazie della risposta, provo a spiegare meglio tutto il mio dubbio.
Dovendo confrontarmi con il teorema di Stokes mi trovo a dover calcolare la circuitazione della forma differenziale associata al campo lungo il "bordo" della superficie, cioè se $phi$ è la mia superficie, $D$ il suo dominio, devo calcolare l'integrale lungo
$phi(\dD) = dS$ dove $S$ è il sostegno della superficie.
Dunque, il mio problema è che questo concetto di bordo non sono riuscito ad afferrarlo completamente anche se credo di aver fatto dei progressi.
Supponiamo che io abbia un cilindro $x^2+y^2=1$, quindi parametrizzo questa superficie come
$phi(t,z)=(cost,sint,z)$ con $(t,z) in [0,2pi] xx [0,1]$.
Io mi domando, qui il dominio è dato da $D={(t,z) in RR^3 | (t,z) in [0,2pi] xx [0,1] }$
Allora il suo bordo $dD$ è dato dal perimetro di questo rettangolo.
Quindi il bordo della superficie è dato da $phi(dD)$ che diventa due circonferenze a quota diverse e un segmento.
Il punto è che ho visto che delle volte si salta questo passaggio e si conclude subito che il bordo sono le due circonferenze ( e qualche volta viene omesso il segmento ), mentre io non mi sento così sicuro ad affermare su due piedi che quello è il bordo del dominio tramite $phi$, cosa che per verificare mi porta via un po di tempo ed errori dato che allungo di molto i calcoli mentre se riuscissi a trovare una spiegazione convincente della cosa potrei evitare.
Domando quindi, questo fatto è sempre verificato?
Cioè supponiamo che io abbia un cono con profilo non a forma di circonferenza ma di guscio di nocciolina, tanto per dirne una.
Se io fossi in grado di parametrizzare quella curva, potrei veramente concludere così di getto che quello è il bordo di $D$ tramite $phi$ solo perchè è alle "estremità" e fare i conti su questa?
Grazie mille, spero di essermi riuscito a spiegare
Dovendo confrontarmi con il teorema di Stokes mi trovo a dover calcolare la circuitazione della forma differenziale associata al campo lungo il "bordo" della superficie, cioè se $phi$ è la mia superficie, $D$ il suo dominio, devo calcolare l'integrale lungo
$phi(\dD) = dS$ dove $S$ è il sostegno della superficie.
Dunque, il mio problema è che questo concetto di bordo non sono riuscito ad afferrarlo completamente anche se credo di aver fatto dei progressi.
Supponiamo che io abbia un cilindro $x^2+y^2=1$, quindi parametrizzo questa superficie come
$phi(t,z)=(cost,sint,z)$ con $(t,z) in [0,2pi] xx [0,1]$.
Io mi domando, qui il dominio è dato da $D={(t,z) in RR^3 | (t,z) in [0,2pi] xx [0,1] }$
Allora il suo bordo $dD$ è dato dal perimetro di questo rettangolo.
Quindi il bordo della superficie è dato da $phi(dD)$ che diventa due circonferenze a quota diverse e un segmento.
Il punto è che ho visto che delle volte si salta questo passaggio e si conclude subito che il bordo sono le due circonferenze ( e qualche volta viene omesso il segmento ), mentre io non mi sento così sicuro ad affermare su due piedi che quello è il bordo del dominio tramite $phi$, cosa che per verificare mi porta via un po di tempo ed errori dato che allungo di molto i calcoli mentre se riuscissi a trovare una spiegazione convincente della cosa potrei evitare.
Domando quindi, questo fatto è sempre verificato?
Cioè supponiamo che io abbia un cono con profilo non a forma di circonferenza ma di guscio di nocciolina, tanto per dirne una.
Se io fossi in grado di parametrizzare quella curva, potrei veramente concludere così di getto che quello è il bordo di $D$ tramite $phi$ solo perchè è alle "estremità" e fare i conti su questa?
Grazie mille, spero di essermi riuscito a spiegare
Che definizione di superficie e bordo ti è stata fornita? In linea di massima il bordo è sempre quello che ti aspetti in questo genere di esercizi comunque.
Allora io ho le seguenti definizioni
Superficie
Bordo
Quindi sostanzialmente, se io mi trovassi ad affrontare una superficie, dove esiste una limitazione $x>=k, k in RR$, tanto per dirne una, potrei subito dedurre che il bordo è l'intersezione tra questo piano e la superficie?
Superficie
Sia $D \sub RR^2$ un dominio connesso.
Sia $phi \in C^1(D,RR^3)$.
Questa applicazione si definisce come una superficie regolare parametrizzata se e solo se
1)$phi$ è invertibile nell'interno di $D$.
2)Lo jacobiano associato a $phi$ ha rango massimo all'interno di $D$.
Bordo
Sia $A \sub RR^2$ un aperto.
Sia $D \sub A$ un dominio regolare connesso.
Sia $phi$ restrizione di una applicazione di classe $C^1(A)$ una superficie regolare parametrizzata.
Si definisce superficie regolare con bordo se e solo se
1)$phi$ è iniettiva in D
2)Lo jacobiano di $phi$ ha rango massimo in D.
Dunque il bordo è dato da, supposta essere $gamma$ una curva regolare tale che $tr(gamma)$ e da seguire l'orientazione positiva di $dD$ ( quella che ha la normale esterna al dominio ), la curva $phi(gamma(t))$
Essa orienta positivamente $dS$ dove $S$ è il sostegno della superficie.
Quindi sostanzialmente, se io mi trovassi ad affrontare una superficie, dove esiste una limitazione $x>=k, k in RR$, tanto per dirne una, potrei subito dedurre che il bordo è l'intersezione tra questo piano e la superficie?
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