Chiarimenti su "Teorema di Fermat in $R^n$"
ciao a tutti 
sto studiando il Teorema di Fermat in "n" variabili su degli appunti di una mia amica, perchè il mio libro, ne altri che ho sotto mano riportano tale teorema (ma solo quello in $R$)
fin'ora gli appunti mi sono sembrati abbastanza chiari ma c'è un passaggio che non mi convince (ma è probabile che sbagli io)...
il teorema dice:
TEOREMA DI FERMAT IN n VARIABILI (MAX e MIN liberi)
$f:A -> R$ con A sottoinsieme di $R^n$ aperto;
sia x° = (x°1, _ _ _ , x°n) appart. A [1,...,n sono pedici] punto di MAX o MIN locale di $f$
Se esiste ∇f(x°) -> ∇f(x°) = [((∂f)/(∂x1))(x°), _ _ _ , ((∂f)/(∂xn))(x°)] = (0, _ _ _, 0)
poi passa alla dimostrazione, nella quale introduce la funzione $F(h)$ nella quale varia solo $h$ (nel limite per h che tende a 0 di $(F(h) - F(0))/h$)
in forma grafica:
http://img43.imageshack.us/i/21022011l.jpg/
prendendo in esame la prima parte a sinistra dell'immagine io non capisco perchè, se la funzione in $R^n$ è quella "cupola", e ne prendiamo una sezione unidimensionale $f$ che dipende solo da xk (k pedice), la proiezione sul piano orizzontale che giustamente è una curva chiusa, ha come segmento quel "diametro di circonferenza" con punto x°...
non dovrebbe essere un segmento che tocca la curva chiusa in due punti e la divide in due parti?
una cosa del genere, per intenderci...
http://img524.imageshack.us/i/21022011g.jpg/
E un'ulteriore domanda..
cosa si intende esattamente per "massimi e minimi LIBERI"?
grazie : )
sto studiando il Teorema di Fermat in "n" variabili su degli appunti di una mia amica, perchè il mio libro, ne altri che ho sotto mano riportano tale teorema (ma solo quello in $R$)
fin'ora gli appunti mi sono sembrati abbastanza chiari ma c'è un passaggio che non mi convince (ma è probabile che sbagli io)...
il teorema dice:
TEOREMA DI FERMAT IN n VARIABILI (MAX e MIN liberi)
$f:A -> R$ con A sottoinsieme di $R^n$ aperto;
sia x° = (x°1, _ _ _ , x°n) appart. A [1,...,n sono pedici] punto di MAX o MIN locale di $f$
Se esiste ∇f(x°) -> ∇f(x°) = [((∂f)/(∂x1))(x°), _ _ _ , ((∂f)/(∂xn))(x°)] = (0, _ _ _, 0)
poi passa alla dimostrazione, nella quale introduce la funzione $F(h)$ nella quale varia solo $h$ (nel limite per h che tende a 0 di $(F(h) - F(0))/h$)
in forma grafica:
http://img43.imageshack.us/i/21022011l.jpg/
prendendo in esame la prima parte a sinistra dell'immagine io non capisco perchè, se la funzione in $R^n$ è quella "cupola", e ne prendiamo una sezione unidimensionale $f$ che dipende solo da xk (k pedice), la proiezione sul piano orizzontale che giustamente è una curva chiusa, ha come segmento quel "diametro di circonferenza" con punto x°...
non dovrebbe essere un segmento che tocca la curva chiusa in due punti e la divide in due parti?
una cosa del genere, per intenderci...
http://img524.imageshack.us/i/21022011g.jpg/
E un'ulteriore domanda..
cosa si intende esattamente per "massimi e minimi LIBERI"?
grazie : )
Risposte
qui si tratta di conoscere il significato di funzione e funzione composta.
ad ogni modo, il teorema di fermat in R^n è una generalizzazione del teorema di fermat in una, oppure puoi vederlo come una conseguenza della differenziabilità, motivo per cui sul tuo libro non è riportato nel caso R^n.
stiamo con funzioni di due variabili per semplicità. per rispondere alla tua domanda ti chiedo: se vuoi valutare la funzione lungo la curva $gamma(x)=(x,y(x))$, che nel disegno è quella in rosso sul piano xy, cosa fai? semplice: componi la funzione f con la funzione $gamma$, ovvero fai $f(gamma)$. ad ogni punto della curva, corrisponde una sola immagine f(x,y(x)), che si ottiene semplicemente "proiettando" i suoi punti del piano xy sulla "calotta", in maniera analoga a quello che facevi con funzioni di una variabile.
naturalmente se la curva era quella gialla sul piano xy, allora la funzione composta ti dava quella specie di circonferenza sulla calotta.
domanda: la curva gialla può essere rappresentata come curva cartesiana?
ad ogni modo, il teorema di fermat in R^n è una generalizzazione del teorema di fermat in una, oppure puoi vederlo come una conseguenza della differenziabilità, motivo per cui sul tuo libro non è riportato nel caso R^n.
stiamo con funzioni di due variabili per semplicità. per rispondere alla tua domanda ti chiedo: se vuoi valutare la funzione lungo la curva $gamma(x)=(x,y(x))$, che nel disegno è quella in rosso sul piano xy, cosa fai? semplice: componi la funzione f con la funzione $gamma$, ovvero fai $f(gamma)$. ad ogni punto della curva, corrisponde una sola immagine f(x,y(x)), che si ottiene semplicemente "proiettando" i suoi punti del piano xy sulla "calotta", in maniera analoga a quello che facevi con funzioni di una variabile.
naturalmente se la curva era quella gialla sul piano xy, allora la funzione composta ti dava quella specie di circonferenza sulla calotta.
domanda: la curva gialla può essere rappresentata come curva cartesiana?
non saprei... 
a me di istinto, proiettando tutti i punti del bordo della funzione (l'anello insomma, mettendo per ipotesi che i punti siano tutti alla stessa altezza), sul piano cartesiano xy (quello orizzontale) mi verrebbe da dire che è possibile...
però se mi hai fatto la domanda presumo che non lo sia.. :/
e comunque quindi dal tuo ragionamento:
<>
mi verrebbe da pensare che quindi il mio ragionamento era corretto? o sbaglio?
a me di istinto, proiettando tutti i punti del bordo della funzione (l'anello insomma, mettendo per ipotesi che i punti siano tutti alla stessa altezza), sul piano cartesiano xy (quello orizzontale) mi verrebbe da dire che è possibile...però se mi hai fatto la domanda presumo che non lo sia.. :/
e comunque quindi dal tuo ragionamento:
<
mi verrebbe da pensare che quindi il mio ragionamento era corretto? o sbaglio?
come primo consiglio riguardati la definizione di funzione e di curva cartesiana (la circonferenza è una funzione?).
torniamo alle funzioni di una variabile: fissa un punto x0. per determinare il punto f(x0) applichi f ad x0, ovvero "proietti" verticalmente il punto x0 sul grafico di f. l'espressione f(x0) non ti dà solo un'informazione relativa all'ordinata, ma anche all'ascissa, ovvero ti dice a quale elemento del dominio applichi la legge.
stessa cosa vale per funzioni di due variabili: fissi un punto P=(x0, y0) e lo proietti verticalmente sul grafico di f.
come conseguenza di questo fatto, se l'insieme di questi punti P=(x0,y0) forma un segmento, non dovrai fare altro che proiettare quest'ultimo sul grafico.
insomma il succo è che si restringe il dominio della funzione a una curva (chiusa o no, è una scelta puramente arbitraria), non so in che altra maniera dirtelo.
forse il tuo dubbio sta nel fatto che il disegno originale è un po' sbagliato, perchè storge la proiezione..
torniamo alle funzioni di una variabile: fissa un punto x0. per determinare il punto f(x0) applichi f ad x0, ovvero "proietti" verticalmente il punto x0 sul grafico di f. l'espressione f(x0) non ti dà solo un'informazione relativa all'ordinata, ma anche all'ascissa, ovvero ti dice a quale elemento del dominio applichi la legge.
stessa cosa vale per funzioni di due variabili: fissi un punto P=(x0, y0) e lo proietti verticalmente sul grafico di f.
come conseguenza di questo fatto, se l'insieme di questi punti P=(x0,y0) forma un segmento, non dovrai fare altro che proiettare quest'ultimo sul grafico.
insomma il succo è che si restringe il dominio della funzione a una curva (chiusa o no, è una scelta puramente arbitraria), non so in che altra maniera dirtelo.
forse il tuo dubbio sta nel fatto che il disegno originale è un po' sbagliato, perchè storge la proiezione..
si... il disegno fatto male mi manda abbastanza in confusione 
però quindi il ragionamento è inverso... cioè io parto dal fissare un punto sul piano orizzontale e lo proietto sulla "funzione cupola"...
se i punti sono piu di uno, diciamo P = (x0,y0) e P* = (x1,y1) e questi sono gli estremi di un segmento, allora la loro proiezione sulla "funzione cupola" sarà una curva che è la restrizione del dominio... spero di averci capito qualcosa
piu o meno cosi: http://img88.imageshack.us/i/immagineqgw.jpg/
inoltre pensandoci, una curva chiusa come la circonferenza non puo essere una funzione perchè se ipoteticamente, per praticità disegno la circonferenza con centro nell'origine degli assi cartesiani ad ogni x non corrisponde una unica f(x)...quindi direi che la risposta finale è: no, la circonferenza non è una funzione
però quindi il ragionamento è inverso... cioè io parto dal fissare un punto sul piano orizzontale e lo proietto sulla "funzione cupola"...
se i punti sono piu di uno, diciamo P = (x0,y0) e P* = (x1,y1) e questi sono gli estremi di un segmento, allora la loro proiezione sulla "funzione cupola" sarà una curva che è la restrizione del dominio... spero di averci capito qualcosa
piu o meno cosi: http://img88.imageshack.us/i/immagineqgw.jpg/
inoltre pensandoci, una curva chiusa come la circonferenza non puo essere una funzione perchè se ipoteticamente, per praticità disegno la circonferenza con centro nell'origine degli assi cartesiani ad ogni x non corrisponde una unica f(x)...quindi direi che la risposta finale è: no, la circonferenza non è una funzione
se i punti sono piu di uno, diciamo P = (x0,y0) e P* = (x1,y1) e questi sono gli estremi di un segmento, allora la loro proiezione sulla "funzione cupola" sarà una curva che è la restrizione del dominio... spero di averci capito qualcosa
per restrizione del dominio intendo un sottoinsieme del dominio, non confondiamo dominio (o una sua restrizione) con insieme immagine (la cupola per intenderci).
il piccolo sforzo che devi fare è quello di proiettare punti del piano xy, sulla superficie individuata dalla funzione. comunque il ragionamento estende quello che ti avranno insegnato per le derivate parziali, cioè si seziona la funzione lungo le direzioni di interesse, quindi non capisco veramente la difficoltà. spero che adesso sia chiaro, non saprei come spiegartelo altrimenti.
per la circonferenza l'osservazione va bene
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