Chiarimenti su maggiorante e minorante, max e min, Sup e Inf
Ciao
Ho bisogno di aiuto con le definizioni di maggiorante, massimo e sup, faccio ancora molta confusione.
So che un maggiorante di un insieme A è maggiore
o uguale di ogni elemento di A; può inoltre appartenere o NON appartenere all'insieme A. Stessa cosa per il minorante.
Se l'insieme A ammette maggiorante si dice che è limitato superiormente. Ma può anche accadere che sia limitato ma che non abbia maggiorante?
Sul quaderno avevo scritto questa frase che non so se sia giusta o meno: "Se esiste un elemento di A che è maggiorante di A, si dice che l'insieme A è dotato d massimo. E' evidente che gli insiemi dotati di massimo sono limitati superiormente; ma esistono insiemi limitati sup. che non sono dotati di massimo."
Ma quindi se esiste max questo è un maggiorante ma non vale il contrario? e il sup e l'inf posso averli anche se non ho maggioranti e minoranti?
Ho bisogno di aiuto con le definizioni di maggiorante, massimo e sup, faccio ancora molta confusione.
So che un maggiorante di un insieme A è maggiore
o uguale di ogni elemento di A; può inoltre appartenere o NON appartenere all'insieme A. Stessa cosa per il minorante.
Se l'insieme A ammette maggiorante si dice che è limitato superiormente. Ma può anche accadere che sia limitato ma che non abbia maggiorante?
Sul quaderno avevo scritto questa frase che non so se sia giusta o meno: "Se esiste un elemento di A che è maggiorante di A, si dice che l'insieme A è dotato d massimo. E' evidente che gli insiemi dotati di massimo sono limitati superiormente; ma esistono insiemi limitati sup. che non sono dotati di massimo."
Ma quindi se esiste max questo è un maggiorante ma non vale il contrario? e il sup e l'inf posso averli anche se non ho maggioranti e minoranti?
Risposte
Provo a farti un esempio, spero che sia di aiuto.
Abbiamo questo insieme $ A = {4,5,6,7} $, che fondamentalmente è un sottoinsieme di N. Il minorante è 4, ma sono minoranti anche gli altri numeri più piccoli che però non fanno parte dell'insieme (per esempio 0,1,2,3). Analogamente i maggioranti sono: 7,8,9,10 ecc.
Il più grande dei minoranti si chiama estremo inferiore (quindi in questo caso 4 è l'estremo inferiore), il più piccolo dei maggioranti si chiama estremo superiore (quindi 7). Se sup e inf fanno parte dell'insieme si possono chiamare anche massimi e minimi, quindi 4 e 7 oltre ad essere estremo inferiore e superiore, sono anche minimo e massimo.
Ci sono alcuni casi in cui estremo superiore e inferiore non fanno parte dell'insieme, in quel caso non si possono chiamare massimi o minimi. Per esempio se ho un intervallo $ 0 < x < 5$ definito su R, 0 e 5 sono gli estremi superiore e inferiore, ma non sono massimi e minimi perchè non fanno parte dell'intervallo (c'è $<$ e non $<=$). Gli eventuali massimi e minimi sarebbero i numeri con la virgola vicini a 0 o a 5 (per esempio 0,000000000002 o 4,9999999993), che non possono essere definiti esattamente. Spero di essere stato chiaro.
Abbiamo questo insieme $ A = {4,5,6,7} $, che fondamentalmente è un sottoinsieme di N. Il minorante è 4, ma sono minoranti anche gli altri numeri più piccoli che però non fanno parte dell'insieme (per esempio 0,1,2,3). Analogamente i maggioranti sono: 7,8,9,10 ecc.
Il più grande dei minoranti si chiama estremo inferiore (quindi in questo caso 4 è l'estremo inferiore), il più piccolo dei maggioranti si chiama estremo superiore (quindi 7). Se sup e inf fanno parte dell'insieme si possono chiamare anche massimi e minimi, quindi 4 e 7 oltre ad essere estremo inferiore e superiore, sono anche minimo e massimo.
Ci sono alcuni casi in cui estremo superiore e inferiore non fanno parte dell'insieme, in quel caso non si possono chiamare massimi o minimi. Per esempio se ho un intervallo $ 0 < x < 5$ definito su R, 0 e 5 sono gli estremi superiore e inferiore, ma non sono massimi e minimi perchè non fanno parte dell'intervallo (c'è $<$ e non $<=$). Gli eventuali massimi e minimi sarebbero i numeri con la virgola vicini a 0 o a 5 (per esempio 0,000000000002 o 4,9999999993), che non possono essere definiti esattamente. Spero di essere stato chiaro.
Capito, grazie mille!
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