Chiarimenti su continuità e derivabilità
Ciao a tutti! Non sono sicura di aver chiaro come ragionare qui:
"Studiare al variare di $a,b in RR$ la continuità e derivabilità della seguente funzione:
$f(x)= { (arctan((ax+1)/x^2) [per x != 0] ),( 1 [per x =0] ):} $ "
Allora, la funzione $arctan(x)$ è continua su tutto $RR$. Quindi il dominio della funzione è senza dubbio $RR$. Inoltre, derivandola ottengo:
$f'(x)= { ( x^4/(x^4+a^2x^2+2ax+1) [per x != 0] ),( 0 [per x =0] ):} $
Ora ho questi dubbi: è giusto derivare un sistema in questo modo? Va bene così o devo verificare per quali valori di $a,b$ l'immagine della funzione è $(-pi/2,pi/2)$? In tal caso, come faccio? Infine, per verificare la derivabilità è corretto cercare i valori per cui il denominatore della derivata è uguale a $0$ ponendo come incognita $a$? Aspetto delle risposte, grazie
"Studiare al variare di $a,b in RR$ la continuità e derivabilità della seguente funzione:
$f(x)= { (arctan((ax+1)/x^2) [per x != 0] ),( 1 [per x =0] ):} $ "
Allora, la funzione $arctan(x)$ è continua su tutto $RR$. Quindi il dominio della funzione è senza dubbio $RR$. Inoltre, derivandola ottengo:
$f'(x)= { ( x^4/(x^4+a^2x^2+2ax+1) [per x != 0] ),( 0 [per x =0] ):} $
Ora ho questi dubbi: è giusto derivare un sistema in questo modo? Va bene così o devo verificare per quali valori di $a,b$ l'immagine della funzione è $(-pi/2,pi/2)$? In tal caso, come faccio? Infine, per verificare la derivabilità è corretto cercare i valori per cui il denominatore della derivata è uguale a $0$ ponendo come incognita $a$? Aspetto delle risposte, grazie
Risposte
Prima di tutto [tex]\arctan(\cdot) : \mathbb{R} \to \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/tex] e quindi non ci sono restrizioni per l'argomento dell'arcotangente. Naturalmente valgono le condizioni di esistenza del suo argomento (in questo caso [tex]x \ne 0[/tex]).
Poi, è sbagliato calcolare, come credo tu abbia fatto (se non è così, scusami) la derivata in 0 derivando 1. Se facessimo così avremmo che la derivata sarebbe sempre nulla! (in ogni punto la funzione assume un valore, che è un numero e la derivata di un numero costante - rivisto come funzione costante - è 0!)
Ci interessa il comportamento all'avvicinarsi al punto.
[tex]\displaystyle f'(0) = \lim_{h \to 0^\pm} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^\pm} \frac{\arctan \left(\frac{ah+1}{h^2}\right) - 1}{h}=\pm\infty[/tex]
perché il numeratore rimane limitato (tende a [tex]\pm\frac{\pi}{2}-1[/tex]). Quindi in 0 non è mai derivabile.
Poi scusa, ma per [tex]x \ne 0[/tex] è più comodo scrivere la derivata come
[tex]\displaystyle \frac{1}{1+ \left(\frac{ax+1}{x^2}\right)^2}\cdot \frac{ax^2 - 2ax^2-2x}{x^4}[/tex]
da cui si vede esplicitamente che l'unico punto in cui non esiste è [tex]x = 0[/tex].
Poi, è sbagliato calcolare, come credo tu abbia fatto (se non è così, scusami) la derivata in 0 derivando 1. Se facessimo così avremmo che la derivata sarebbe sempre nulla! (in ogni punto la funzione assume un valore, che è un numero e la derivata di un numero costante - rivisto come funzione costante - è 0!)
Ci interessa il comportamento all'avvicinarsi al punto.
[tex]\displaystyle f'(0) = \lim_{h \to 0^\pm} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^\pm} \frac{\arctan \left(\frac{ah+1}{h^2}\right) - 1}{h}=\pm\infty[/tex]
perché il numeratore rimane limitato (tende a [tex]\pm\frac{\pi}{2}-1[/tex]). Quindi in 0 non è mai derivabile.
Poi scusa, ma per [tex]x \ne 0[/tex] è più comodo scrivere la derivata come
[tex]\displaystyle \frac{1}{1+ \left(\frac{ax+1}{x^2}\right)^2}\cdot \frac{ax^2 - 2ax^2-2x}{x^4}[/tex]
da cui si vede esplicitamente che l'unico punto in cui non esiste è [tex]x = 0[/tex].
Grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo