Chiarimenti su analisi 1-2
Salve, ringrazio tutti anticipatamente per il vostro prezioso e utile aiuto
1)
Tra diverse funzioni elencate debbo scegiere quella che ha un punto di cuspide in x0=5 e quella in cui f(x0) = 3
la funzione sarebbe :
$ root(3)((x-5)^2) +3 $
calcolando la derivata prima mi viene fuori un numero da cui non so continuare...
a voi come viene ?
2)
Calcolare dil dom di una funzione a due variabili :
f(x,y) =
$ root(4)((2y-3x^2)) + ln(9-x^2-y^2)/(e^xy ) $ (la y è elevata vicino alla x)
come faccio a capire quale parte prendere per rappresentare graficamente il dominio ?
3)
$ int_(2)^(4) 3x cos (3x) dx $
Abbiamo questo integrale : ovviamente ho usato la regole di integrazione per parti per integrali definiti
a fine esercizio mi trovo però
12sen12 - 6sen6 + 3 cos 12 - 3 cos 6
dovrebbe venire 1/3 ( cos 12+12sen12-cos6-6sen6)
4) Chiarimenti sull'identificazione della natura di un punto estremante :
mettiamo caso che mi trovo un x=3 e quindi x maggiore-uguale di 3
per definire la sua natura faccio uno schema ? del tipo da 3 in poi ( 3 compreso ) la funzione cresce
prima di 3 decresce quindi, nell'ipotetico caso, si tratta di un punto di minimo ?
5)
Come disegno le curve di livello di f e individuo la loro direzione di crescita ?
la f in esame è :
$ (x-5/2)^2+y^2 $
6) Data la funzione a due variabili (x,y) = 2y-x^2
verificare che non ammette punti di max o di min...
non li ammette perchè non è possibile definire il gradiente = 0 ?
7) Data la funzione
$ root( )(-16-2x) / (3x) $
il suo dom è (-inf;-8]
lim x che tende a -inf è 0
a me viene un solo punto estremante che è x= -1/8 che NON è compreso nel Dom f(x) quindi non ci sono min e max )
giusto ?
1)
Tra diverse funzioni elencate debbo scegiere quella che ha un punto di cuspide in x0=5 e quella in cui f(x0) = 3
la funzione sarebbe :
$ root(3)((x-5)^2) +3 $
calcolando la derivata prima mi viene fuori un numero da cui non so continuare...
a voi come viene ?
2)
Calcolare dil dom di una funzione a due variabili :
f(x,y) =
$ root(4)((2y-3x^2)) + ln(9-x^2-y^2)/(e^xy ) $ (la y è elevata vicino alla x)
come faccio a capire quale parte prendere per rappresentare graficamente il dominio ?
3)
$ int_(2)^(4) 3x cos (3x) dx $
Abbiamo questo integrale : ovviamente ho usato la regole di integrazione per parti per integrali definiti
a fine esercizio mi trovo però
12sen12 - 6sen6 + 3 cos 12 - 3 cos 6
dovrebbe venire 1/3 ( cos 12+12sen12-cos6-6sen6)
4) Chiarimenti sull'identificazione della natura di un punto estremante :
mettiamo caso che mi trovo un x=3 e quindi x maggiore-uguale di 3
per definire la sua natura faccio uno schema ? del tipo da 3 in poi ( 3 compreso ) la funzione cresce
prima di 3 decresce quindi, nell'ipotetico caso, si tratta di un punto di minimo ?
5)
Come disegno le curve di livello di f e individuo la loro direzione di crescita ?
la f in esame è :
$ (x-5/2)^2+y^2 $
6) Data la funzione a due variabili (x,y) = 2y-x^2
verificare che non ammette punti di max o di min...
non li ammette perchè non è possibile definire il gradiente = 0 ?
7) Data la funzione
$ root( )(-16-2x) / (3x) $
il suo dom è (-inf;-8]
lim x che tende a -inf è 0
a me viene un solo punto estremante che è x= -1/8 che NON è compreso nel Dom f(x) quindi non ci sono min e max )
giusto ?
Risposte
Ciao 
1. Sì, torna. Prova a scrivere la derivata prima che ti viene fuori.
2. Devi pretendere che la radice con indice pari abbia radicando non negativo, devi richiedere inoltre che l'argomento del logaritmo sia positivo quindi...
3. Prova a scrivere i passaggi, avrai commesso qualche errore di conto.
4. La domanda non è molto chiara purtroppo.
5. Sia $f(x,y)=(x-\frac{5}{2})^2+y^2$
Determiniamo le curve di livello imponendo che
$f(x,y)=k\mbox{ con }k\in\mathbb{R}\iff (x-\frac{5}{2})^2+ y^2=k$
Osserva innanzitutto che se k<0 allora l'equazione precedente non ha soluzioni, perché il primo membro è certamente non negativo, mentre il secondo membro è negativo.
Se k=0 ottieni $(x-\frac{5}{2})^2+ y^2=0\iff x=\frac{5}{2}, y=0$
Se k>0, i punti che soddisfano $(x-\frac{5}{2})^2+ y^2=k$ sono punti della circonferenza di centro $C(\frac{5}{2}, 0)$ e raggio $r=\sqrt{k}$. All'aumentare di k aumenta anche il raggio, questo significa che più aumenta il raggio, più la funzione aumenta la sua quota. Il punto di minimo è dunque $(\frac{5}{2},0)$ ossia il punto in cui il raggio è zero.
6. No, non ha punti stazionari perché è una funzione differenziabile e se avesse punti di massimo o minimo relativi il teorema di Fermat ci assicurerebbe che tali punti renderebbero nulle le derivate parziali del primo ordine, ma la derivata parziale rispetto ad y è... dunque....
7. Hai commesso qualche errore nel calcolo della derivata. Riprova
1. Sì, torna. Prova a scrivere la derivata prima che ti viene fuori.
2. Devi pretendere che la radice con indice pari abbia radicando non negativo, devi richiedere inoltre che l'argomento del logaritmo sia positivo quindi...
3. Prova a scrivere i passaggi, avrai commesso qualche errore di conto.
4. La domanda non è molto chiara purtroppo.
5. Sia $f(x,y)=(x-\frac{5}{2})^2+y^2$
Determiniamo le curve di livello imponendo che
$f(x,y)=k\mbox{ con }k\in\mathbb{R}\iff (x-\frac{5}{2})^2+ y^2=k$
Osserva innanzitutto che se k<0 allora l'equazione precedente non ha soluzioni, perché il primo membro è certamente non negativo, mentre il secondo membro è negativo.
Se k=0 ottieni $(x-\frac{5}{2})^2+ y^2=0\iff x=\frac{5}{2}, y=0$
Se k>0, i punti che soddisfano $(x-\frac{5}{2})^2+ y^2=k$ sono punti della circonferenza di centro $C(\frac{5}{2}, 0)$ e raggio $r=\sqrt{k}$. All'aumentare di k aumenta anche il raggio, questo significa che più aumenta il raggio, più la funzione aumenta la sua quota. Il punto di minimo è dunque $(\frac{5}{2},0)$ ossia il punto in cui il raggio è zero.
6. No, non ha punti stazionari perché è una funzione differenziabile e se avesse punti di massimo o minimo relativi il teorema di Fermat ci assicurerebbe che tali punti renderebbero nulle le derivate parziali del primo ordine, ma la derivata parziale rispetto ad y è... dunque....
7. Hai commesso qualche errore nel calcolo della derivata. Riprova
Ciao,grazie per avermi risposto
1)Guarda purtroppo non riesco a trovare più il foglio dove avevo svolto il procedimento completo ma ricordo che mi inceppavo quando arrivavo a
$ 2/3 (1/x - 1/5 ) ^3 + 3 $
puoi farmi vedere il procedimento ?
1)Guarda purtroppo non riesco a trovare più il foglio dove avevo svolto il procedimento completo ma ricordo che mi inceppavo quando arrivavo a
$ 2/3 (1/x - 1/5 ) ^3 + 3 $
puoi farmi vedere il procedimento ?
2) Si le condizoni le conosco solo che una volta fatto il grafico non so orientarmi su quale parte dovrei definire il dominio...
come faccio ? nel caso preso ad esame ad esempio ?
3) A te come viene ?
come faccio ? nel caso preso ad esame ad esempio ?
3) A te come viene ?
4)
Intendevo dire , prendi per ipotesi un esercizio dove il punto stazionario di una funzione a una variabile sia x=3
ora ammesso che x si trovi nel dom f e che il dom di f sia limitato, come faccio a definire la natura del punto stazionario 3 ?
5) Ah okay grazie capito perfetto
6) Come faccio a capire se una funzione è differenziabile ? che condizioni deve soddisfare ?
7) come faresti te la derivata prima ?
Intendevo dire , prendi per ipotesi un esercizio dove il punto stazionario di una funzione a una variabile sia x=3
ora ammesso che x si trovi nel dom f e che il dom di f sia limitato, come faccio a definire la natura del punto stazionario 3 ?
5) Ah okay grazie capito perfetto
6) Come faccio a capire se una funzione è differenziabile ? che condizioni deve soddisfare ?
7) come faresti te la derivata prima ?
1) la derivata vale $ 2/3*1/(root(3)(x-5)) $ e da questo si deduce che la funzione originaria ha una cuspide in $x=5 $ e vale $3$ per $ x=5 $.
"Camillo":
1) la derivata vale $ 2/3*1/(root(3)(x-5)) $ e da questo si deduce che la funzione originaria ha una cuspide in $x=5 $ e vale $3$ per $ x=5 $.
Grazie Camillo
ma derivata in questa maniera come fa a essere un punto di cuspide ?
Qualcuno gentilmente può aiutarmi per gi altri quesiti ?
"matematico2015":
[quote="Camillo"]1) la derivata vale $ 2/3*1/(root(3)(x-5)) $ e da questo si deduce che la funzione originaria ha una cuspide in $x=5 $ e vale $3$ per $ x=5 $.
Grazie Camillo
ma derivata in questa maniera come fa a essere un punto di cuspide ?[/quote]
Calcola per la derivata $lim_(x rarr 5^(+) ) f'(x) = +oo ; lim_(x rarr 5^(-) ) f'(x)= -oo $ e quindi $x=5 $ è proprio un punto di cuspide
"Camillo":
[quote="matematico2015"][quote="Camillo"]1) la derivata vale $ 2/3*1/(root(3)(x-5)) $ e da questo si deduce che la funzione originaria ha una cuspide in $x=5 $ e vale $3$ per $ x=5 $.
Grazie Camillo
ma derivata in questa maniera come fa a essere un punto di cuspide ?[/quote]
Calcola per la derivata $lim_(x rarr 5^(+) ) f'(x) = +oo ; lim_(x rarr 5^(-) ) f'(x)= -oo $ e quindi $x=5 $ è proprio un punto di cuspide[/quote]
Si, fin qui ci ero arrivato ma calcolando il limite non viene 0 ???
Quale limite ?
il limite per la derivata prima a me viene 0 non +/- infinito
Dunque : $ f(x)=root(3)((x-5)^2) +3 ; f'(x)= 2/3*1/(root(3)(x-5)) $ per cui
$lim_( x rarr 5^(+) )f'(x) rarr 2/(3*0^(+)) rarr +oo $ mentre $ lim_(x rarr 5^(-)) f'(x) rarr 2/(3*0^(-)) rarr -oo $ .
$lim_( x rarr 5^(+) )f'(x) rarr 2/(3*0^(+)) rarr +oo $ mentre $ lim_(x rarr 5^(-)) f'(x) rarr 2/(3*0^(-)) rarr -oo $ .
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