Chiarimenti serie di Fourier
Ciao, sto studiando le serie di Fourier, ma mi trovo in difficoltà perché non ho gli appunti e i libri consigliati usano tutti un approccio diverso.
Partiamo dalle basi, cos'è il toro $ mathbb(T)=mathbb(R)/mathbb(Z)$? E il toro n-dimensionale? Ho letto che, per esempio, $L^2(mathbb(T))$ è lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile che siano periodiche di periodo 2π, è corretto?
Ora, ogni spazio di Hilbert possiede una base ortonormale, quindi è possibile esprimere ogni suo elemento tramite la serie di Fourier; ad esempio $ {e^(ikx)}_(kinmathbb(Z)) $ è una base di $L^2(mathbb(R))$. Ma quindi le funzioni devono essere periodiche o no?
E poi, come si estende il ragionamento agli altri spazi? Quali $L^2(mathbb(R)^n)$, $L^p$, ecc
Grazie, scusate le imprecisioni.
Partiamo dalle basi, cos'è il toro $ mathbb(T)=mathbb(R)/mathbb(Z)$? E il toro n-dimensionale? Ho letto che, per esempio, $L^2(mathbb(T))$ è lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile che siano periodiche di periodo 2π, è corretto?
Ora, ogni spazio di Hilbert possiede una base ortonormale, quindi è possibile esprimere ogni suo elemento tramite la serie di Fourier; ad esempio $ {e^(ikx)}_(kinmathbb(Z)) $ è una base di $L^2(mathbb(R))$. Ma quindi le funzioni devono essere periodiche o no?
E poi, come si estende il ragionamento agli altri spazi? Quali $L^2(mathbb(R)^n)$, $L^p$, ecc
Grazie, scusate le imprecisioni.
Risposte
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"Perruccio":
Partiamo dalle basi, cos'è il toro $ mathbb(T)=mathbb(R)/mathbb(Z)$? E il toro n-dimensionale?
Quello viene chiamato, a quanto ne so, toro piatto. Infatti è lo spazio \(\mathbb{R}^n\) quozientato rispetto al sottogruppo \(\mathbf{Z}^n\) (per me è al limite dell'arabo dato che di topologia sto messo maluccio). Il toro in ogni modo lo puoi vedere anche come prodotto di circonferenze \(\mathbb{T}^n = (S^1)^n\) e quindi quello monodimensionale dovrebbe essere rappresentabile come una circonferenza, che se ci pensi è un segmento \([0,2\pi)\) incollato alle estremità (ed è qui che entra in gioco il periodo)
"Perruccio":
Ora, ogni spazio di Hilbert possiede una base ortonormale, quindi è possibile esprimere ogni suo elemento tramite la serie di Fourier; ad esempio $ {e^(ikx)}_(kinmathbb(Z)) $ è una base di $L^2(mathbb(R))$. Ma quindi le funzioni devono essere periodiche o no?
Non ci ho mai dedicato troppo tempo, ma anch'io non ho mai capito questo. Dato uno spazio di Hilbert \(\mathbf{H}\) e una base ortonormale \(\{\varphi_i\}_{i=1}^{\infty}\) io dovrei poter scrivere:
\[f = \sum_{i=1}^{\infty} (f,\varphi_i) \varphi_i\]
trascurando le questioni topologiche di convergenza.
Che c'entra la periodicità?
"Emar":
Che c'entra la periodicità?
Hai ragione, non mi sono espresso bene. Intendevo dire che di solito la trasformata di Fourier viene intesa come uno strumento per 'trasformare' funzioni periodiche in seni e coseni. Ma in realtà non devono essere periodiche, basta che stiano in uno spazio di Hilbert (mi pare).
Comunque ho riletto adesso, in realtà $ {e^(ikx)}_(kinmathbb(Z)) $ è una base di $L^2(mathbb(T))$ e non di $L^2(mathbb(R))$. E in effetti $L^2(mathbb(T))$ può essere visto come funzioni su R però periodiche...
"Perruccio":
[quote="Emar"]
Che c'entra la periodicità?
Hai ragione, non mi sono espresso bene...[/quote]
No in realtà la mia era una perplessità
Io dico, dato un elemento \(f\) di uno spazio di Hilbert e una base ortonormale \(\{\phi_i\}_{i =1}^\infty\) si può scrivere \(f = \sum_{i =1}^\infty \hat{f}_i \phi_i\), dove \(\hat{f}_i = (f,\phi_i)\) avendo tralasciato gli aspetti topologici (che sono fondamentali, ma sui cui so poco).[*:38iho8wa]É corretto?[/*:m:38iho8wa]
[*:38iho8wa]Se sì si può sviluppare una teoria di serie generali come queste?[/*:m:38iho8wa]
[*:38iho8wa]Nel caso di consideri uno spazio di funzioni come \(L^2\) é possibile trovare altri basi ortonormali rispetto alle quali scrivere l'espansione in serie?[/*:m:38iho8wa][/list:u:38iho8wa]
Ti ho "rubato" il topic
"Emar":
Dato un elemento \(f\) di uno spazio di Hilbert e una base ortonormale \(\{\phi_i\}_{i =1}^\infty\) si può scrivere \(f = \sum_{i =1}^\infty \hat{f}_i \phi_i\), dove \(\hat{f}_i = (f,\phi_i)/\|f\|\)
Non bisogna dividere per la norma di $f$.
"Emar":
Nel caso si consideri uno spazio di funzioni come \(L^2\) é possibile trovare altri basi ortonormali rispetto alle quali scrivere l'espansione in serie?
Penso proprio di sì.
"Emar":
Ti ho "rubato" il topic
Ahahaha ok fammi sapere in generale se trovi qualcosa
PS Studio anche io ingegneria matematica al poli!
"Perruccio":
Non bisogna dividere per la norma di $f$.
Svista mia, corretto.
In ogni caso mi sto leggendo un po' di queste cose. Pare che formule come quelle scritte prima si chiamino genericamente "Orthogonal Expansions" o "Generalized Fourier Series".
Esempi di basi ortogonali sono i vari polinomi che si usano in teoria dell'approssimazione/interpolazione (ora che ci penso c'è un po' di sta roba sul QSS "Numerical Mathematics" Chap. 10, anche se fatta così e così).
Continuerò a leggere qui e lì.
Buona serata
"Perruccio":
Ho letto che, per esempio, $L^2(mathbb(T))$ è lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile che siano periodiche di periodo 2π, è corretto?
In effetti quello è lo spazio delle funzioni $f$ definite sulla circonferenza unitaria (che è il quoziente $RR/ZZ$, ma non è importante in questa teoria) e tali che
\[
\int_{\mathbb{S}^1} \lvert f\rvert^2\, ds<\infty.
\]
Questo qua è un integrale di linea. Srotolandolo otteniamo la condizione equivalente
\[
\int_a^{a+2\pi} \lvert f( \cos(\theta), \sin(\theta))\rvert^2\, d\theta < +\infty,
\]
dove \(a\) è un qualsiasi numero reale fissato una volta per tutte. Di solito \(a=0\) oppure \(a=-\pi\).
Uno quindi scrive direttamente \(f(\theta)\) in luogo di \(f(\cos(\theta), \sin(\theta))\) e considera \(f\) come una funzione definita su \([a, a+2\pi)\) oppure la prolunga per periodicità e la considera definita su tutta la retta.
Sono cose ovvie che di solito non si dicono neanche, e certe volte uno si confonde.
Grazie, ma perché se $ L^2(mathbb(R))$ è uno spazio di Hilbert non si definisce direttamente Fourier su questo spazio?
"Perruccio":Sono spazi molto diversi, perché $\mathbb{S}^1$ è compatta, $\mathbb{R}$ no. Su $L^2(\mathbb{S}^1)$ hai il sistema ortonormale degli esponenziali complessi
Grazie, ma perché se $ L^2(mathbb(R))$ è uno spazio di Hilbert non si definisce direttamente Fourier su questo spazio?
\[\left\{ \frac{e^{in \theta}}{\sqrt{2\pi}}\ :\ n\in \mathbb{Z}\right\}.
\]
Questo è il più importante dei sistemi ortonormali, perché
\[
\frac{d}{d\theta} e^{i n \theta} = in e^{i n \theta},\]
ovvero, gli esponenziali complessi sono autofunzioni dell'operatore di derivata. E questo rende le serie di Fourier molto adatte a studiare parecchie equazioni differenziali.
Su $L^2(\mathbb{R})$ non esiste un sistema ortonormale con questa proprietà, perché gli esponenziali complessi non hanno il quadrato integrabile:
\[
\int_{-\infty}^\infty \lvert e^{i n x}\rvert^2\, dx =\int_{-\infty}^\infty 1\, dx = +\infty.\]
E quindi le cose sono più complicate, e invece delle "serie" di Fourier avrai la "trasformata" di Fourier, un integrale.
"dissonance":
Su $ L^2(\mathbb{R}) $ non esiste un sistema ortonormale con questa proprietà, perché gli esponenziali complessi non hanno il quadrato integrabile:
\[ \int_{-\infty}^\infty \lvert e^{i n x}\rvert^2\, dx =\int_{-\infty}^\infty 1\, dx = +\infty. \]
E quindi le cose sono più complicate, e invece delle "serie" di Fourier avrai la "trasformata" di Fourier, un integrale.
Ha senso, grazie. Mi sfuggiva il fatto che $L^2(mathbb(T))$ avesse una base ortonormale numerabile mentre $L^2(mathbb(R))$ no! Ed in fatti è per questo che da serie si passa a trasformata.
Grazie, alla prossima.
"Perruccio":
[quote="dissonance"]
Su $ L^2(\mathbb{R}) $ non esiste un sistema ortonormale con questa proprietà, perché gli esponenziali complessi non hanno il quadrato integrabile:
\[ \int_{-\infty}^\infty \lvert e^{i n x}\rvert^2\, dx =\int_{-\infty}^\infty 1\, dx = +\infty. \]
E quindi le cose sono più complicate, e invece delle "serie" di Fourier avrai la "trasformata" di Fourier, un integrale.
Ha senso, grazie. Mi sfuggiva il fatto che $L^2(mathbb(T))$ avesse una base ortonormale numerabile mentre $L^2(mathbb(R))$ no! Ed in fatti è per questo che da serie si passa a trasformata.
Grazie, alla prossima.[/quote]
Vado di corsa, rispondo al volo: pure $L^2(\mathbb{R})$ ha una base numerabile. Non ti so dire un esempio esplicito su due piedi, ma ce ne sono. Il problema è che non esistono basi numerabili di autofunzioni dell'operatore $\frac{d}{dx}$.
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