Chiarimenti serie armonica generalizzata

[studente_studente]

Salve, qualcuno può dirmi perché la seria armonica generalizzata per $ alpha <=1 $ diverge?
Io ho pensato che:
Se $ alpha <=0 $ allora il termine $ 1/(n^alpha) = n^(|alpha|)$ e questo numero non tende a 0; secondo la condizione necessaria di convergenza se il limite non tende a 0 allora la serie non converge.
Adesso mi chiedo, e perché diverge?

[cooper1]

hai presente la classica dimostrazione con il criterio di condensazione di Cauchy? ecco con quella (riconducendoti di fatto ad una serie geometrica) arrivi a capire perchè può convergere solo per $alpha > 1$.
per gli altri valori, essendo il termine generale di segno costante, può solo divergere. infatti una serie a segno costante non è mai irregolare.

[studente_studente]

Purtroppo non ho mai sentito parlare del criterio di condensazione, appena ho un attimo di tempo vedo di studiarla.
C'è un modo alternativo per giungere al risultato?

[gugo82]

Le dimostrazioni elementari della divergenza della serie \(\sum \frac{1}{n^\alpha}\) per $\alpha >=1$ si basano, essenzialmente, o sul Criterio di Condensazione di Cauchy oppure sul Criterio dell'Integrale.

La seconda via è geometricamente un po' più intuitiva e si può pure fare a meno di conoscere l'enunciato del Criterio per costruirsi una dimostrazione ad hoc.

Nota che \(a_n=\frac{1}{n^\alpha}\) è $> 0$ e non infinitesima per $\alpha \leq 0$; pertanto la serie \(\sum a_n\) diverge positivamente per $\alpha \leq 0$.
D'altro canto, per $\alpha =1$ hai la serie armonica, che diverge positivamente.
Conseguentemente, basta guardare cosa succede per $0<\alpha <1$.
Osservato che \(a_n=f(n)\) per \(f(x):=\frac{1}{x^\alpha}\) e che \(f\) è positiva e strettamente decrescente in $]0,+\infty[$, hai:
\[
\begin{split}
a_n &= f(n)\\
&= f(n)\cdot 1\\
&= f(n)\cdot \int_n^{n+1} 1\ \text{d} x\\
&= \int_n^{n+1} \underbrace{f(n)}_{\geq f(x)}\ \text{d} x\\
&\geq \int_n^{n+1} f(x)\ \text{d} x
\end{split}
\]
da cui segue:
\[
\sum_{k=1}^n a_k \geq \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} f(x)\ \text{d} x = \int_1^{n+1} f(x)\ \text{d} x\; .
\]
Ora, l'integrale al terzo membro si calcola esplicitamente e fornisce:
\[
\int_1^{n+1} f(x)\ \text{d} x = \left[ \frac{1}{1-\alpha}\ x^{1-\alpha}\right]_1^{n+1} = \frac{1}{1-\alpha}\ \left( (n+1)^{1-\alpha} - 1\right)
\]
cosicché trovi la minorazione:
\[
\sum_{k=1}^n a_k \geq \frac{1}{1-\alpha}\ \left( (n+1)^{1-\alpha} - 1\right)
\]
valida per ogni $n\in \NN$; da ciò, passando al limite per $n\to +\infty$ e tenendo presente che \(1-\alpha >0\), segue che:
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} a_n = +\infty\; .
\]

[studente_studente]

Grazie mille!!