Chiarimenti [Serie]

[romanovip]

Salve ho iniziato a fare le serie e ho trovato alcuni problemi/dubbi....

ad esempio... ho una serie che va da $1$ a $oo$

$sum 1/(n(n+1))$

mi dice di individuare un'espressione per il termine generale della successione delle somme parziali , e fa:

$1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)$ perchè???

poi continua con

$S=1 - 1/2+1/2-1/3+1/3....... 1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)$

dopo di che fa il limite di quest'ultima ed esce 1 e dice che e convergente ed è l'unica cosa che ho capito...

[luc.mm]

"guardiax":
$ 1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1) $

Dovresti essere in grado di fare la differenza a secondo membro e verificarlo no? Se non riesci a svolgere quel calcolo letterale la vedo dura a fare le serie, e mi eserciterei prima su qualcosa di più facile. Comunque mi pare ci sia un teorema che ti permette di scrivere i rapporti di polinomi come somme di termini, si usa molto negli integrali di funzioni razionali fratte.

Grazie a quello scrivi $ A/n+ B/(n+1)= (An+A+Bn)/(n(n+1))=((A+B)n+A)/(n(n+1)) $ ti calcoli $ A $ e $ B $ imponendo per avere l'uguaglianza $ A+B=0 $ e $ A=1 $ e risolvi.

Se uno dei fattori è di grado superiore, due ad esempio allora il termine relativo nella somma al numeratore dovrà essere un polinomio di grado uno ( $ Cn+D $ ), poi generalizzi.

[ostrogoto1]

La scomposizione $ 1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1) $ e' comoda per calcolare le somme parziali.
Calcola infatti due termini consecutivi n et n+1 delle somme parziali:
Per $ n+1 $ si ha: $ 1/((n+1)(n+2))=1/(n+1)-1/(n+2) $
Quindi calcolando le somme parziali i termini $ -1/(n+1) $ del termine n-esimo e $ 1/(n+1) $ del termine n+1esimo si cancellano come si osserva nel calcolo della somma parziale ennesima $ S=1 - 1/2+1/2-1/3+1/3....... 1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1) $ .

[gugo82]

"guardiax":ad esempio... ho una serie che va da $1$ a $oo$

$sum 1/(n(n+1))$

mi dice di individuare un'espressione per il termine generale della successione delle somme parziali , e fa:

$1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)$ perchè???

Beh, con un semplice trucco hai:
\[
\begin{split}
\frac{1}{n(n+1)} &= \frac{1+\overbrace{(n-n)}^{\color{maroon}{=0}}}{n(n+1)}\\
&= \frac{(1+n)-n}{n(n+1)}\\
&= \frac{\cancel{1+n}}{n\cancel{(n+1)}} - \frac{\cancel{n}}{\cancel{n}(n+1)}\\
&= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\end{split}
\]
per ogni indice \(n\).

"guardiax":poi continua con

$S=1 - 1/2+1/2-1/3+1/3....... 1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)$

dopo di che fa il limite di quest'ultima ed esce 1 e dice che e convergente ed è l'unica cosa che ho capito...

Dopo aver stabilito come si esprimono gli addendi, puoi trovare un'espressione esplicita dellaùe somme parziali della serie.
Invero, hai:
\[
\begin{split}
s_1 &= a_1\\
&= 1-\frac{1}{2}\\
s_2 &= s_1 + a_2\\
&= 1-\cancel{\frac{1}{2}} + \cancel{\frac{1}{2}} - \frac{1}{3}\\
&= 1-\frac{1}{3}\\
s_3 &= s_2 + a_3\\
&= 1-\cancel{\frac{1}{3}} + \cancel{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4}\\
&= 1-\frac{1}{4}
\end{split}
\]
e vedi che si presenta una certa regolarità nell'espressione di \(s_1\), \(s_2\) ed \(s_3\): infatti, \(s_1\) si ottiene sottraendo ad \(1\) la quantità \(\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}\), \(s_2\) si ottiene sottraendo ad \(1\) la quantità \(\frac{1}{3}=\frac{1}{2+1}\) ed \(s_3\) si ottiene sottraendo ad \(1\) la quantità \(\frac{1}{4}=\frac{1}{3+1}\)... Dunque in generale ti fai dell'idea che:
\[
\tag{*} s_n = 1- \frac{1}{n+1}\; ,
\]
e tale uguaglianza può essere dimostrata per induzione (fallo! ).
Dunque la (*) fornisce l'espressione esplicita delle somme parziali.

A questo punto, per stabilire il carattere della serie non devi fare altro che passare la (*) al limite: trovandosi:
\[
\lim_n s_n = \lim_n 1 - \frac{1}{n} = 1\; ,
\]
la serie assegnata converge ed ha per somma \(1\).