Chiarimenti semplici sviluppo di Taylor.

[psykomantisita]

Salve,

ho appena studiato Taylor, da quel che ho capito, viene utilizzato per approssimare una funzione in un punto $x_0$. Dunque se io sostituisco una quantità di un limite con la sua approssimazione attraverso Taylor il limite non dovrebbe cambiare giusto? Ad esempio il limite notevole $lim_(x->0) (e^x -1)/x = 1$ questo significa che il numeratore per x che tende a zero, si comporta come x.

Sviluppando $e^x-1$ fino all'ordine 2 in $x_0 =0$ ho (e ditemi se sbaglio):

$(e^0-1)/(0!)(x-0)^0 +(e^0)/(1!)(x-0)^1 +(e^0)/(2!)(x-0)^2 + (e^0)/(3!)(x-0)^3 + o(x^3)$

che alla fin fine sarebbe:

$0+x+1/2x^2 + +1/6 x^3 + o(x^3)$

giusto? Dunque ora sostituendo questo al mio limite avrei questa schifezza:
$lim_(x->0) (x+1/2x^2 + +1/6 x^3 + o(x^3))/x = 1$

che da effettivamente 1!

I miei dubbi sono:

Fino a che ordine devo approssimare per non sbagliare i limiti?
C'è un ordine minimo o massimo?
Devo superare il grado della funzione che sta sotto?

[francicko]

Se hai il $lim_(x->0)(e^x-1)/x$, dato che nell'intorno $x=0$ si ha $Lim_(x->0)(e^x-1)=lim_(x->0)((1+x)^(1/x))^x-1=lim_(x->0)(1+x)-1=lim_(x->0)x$, puoi sostituire l'asintotica $x$ ad $e^x-1$, ed avrai $lim_(x->0)(e^x-1)/x=lim_(x->0)(x/x)=1$, pertanto l'uso del limite notevole, che altro non è che lo sviluppo in serie della funzione $e^x-1$ arrestata al termine di $1°$ grado, $x$ , è sufficiente per il corretto calcolo del limite da te proposto.
Se avessi avuto $lim_(x->0)(e^x-1)/x^2$ ovviamente sarebbe $lim_(x->0)(e^x-1)/x^2=lim_(x->0)(x/x^2)=lim_(x->0)1/x=infty$, ed l'uso del limite notevole, cioè la sostituzione di $e^x-1$ con l'asintotico $x$ è ancora sufficiente per il corretto calcolo del limite.
Diverso è il caso in cui si presenta il seguente limite: $lim_(x->0)(e^x-1-x)/x$, in questo caso vengono coinvolti, nella soluzione, termini successivi al $1°$, cioè al termine $x$, quindi per il corretto calcolo del limite occorre uno sviluppo più preciso, e si ricorre allo sviluppo in serie di taylor, della funzione $e^x-1$ arrestata al termine di $2°$, quindi avremo $lim_(x->0)(e^x-1-x)/x=lim_(x->0)((1+x+x^2/2+o(x^3))-1-x)/x=lim_(x->0)(x^2/2)/x=0$;
Oppure si presenti $lim_(x->0)(e^x-1-x)/x^2$, in questo caso avremo $lim_(x->0)(e^x-1-x)/x^2=lim_(x->0)(x^2/2)/(x^2)=1/2$.
Per quanto riguarda le altre tue domande, bisogna osservare qual'è l'infinitesimo di grado più basso che compare
sia a numeratore che a denominatore, e poi procedere successivamente al confronto.
Ad esempio nel caso del $lim_(x->0)(e^x-1)/x$, a numeratore abbiamo il termine di $1°$, $x$, ed a denominatore idem, pertanto il limite è dato da $(x/x)=1$

Nel caso di $lim_(x->0)(e^x-1-x)/x$, avremo $(x^2/2)/(x)=x/2=0$

Nel caso di $lim_(x->0)(e^x-1-x)/x^2$ avremo $(x^2/2)/(x^2)=1/2$

Nel caso di $lim_(x->0)(e^x-1-x)/(x+x^2)$ avremo $(x^2/2)/(x^2)=1/2$

nel caso di $lim_(x->0)(e^x-1-x-x^2/2)/x^2$ avremo $(x^3/6)/x^2=0$

nel caso $lim_(x->0)(e^x-1-x-x^2/2)/x^3$ avremo $(x^3/6)/(x^3)=1/6$.

Prova a svolgere i seguenti casi: $lim_(x->0)(e^x-1-x-x^2/2)/(x^2)=-1/2$,

$lim_(x->0)(e^x-1-x)/(x+x^2+x^3)=0$

$lim_(x->0)(e^x-1-x-x^2/2)/(x^2+x^3)=0$,
cosi poi se ne può discutere.
Saluti!