Chiarimenti integrale improprio!
$int ((e^(3x^4) - 3x^4- 1)/(sinh (bx^b)))$ definito da 0 a piu infinito.
io come prima cosa lo vedo come due integrali, uno che va da 0 a 2 e l'altro da due a piu infinito.
nel primo intrale sostituisco gli sviluppi di taylor e qui la prima domanda fino a che grado posso arrivare? perche $ 3e^(x^4) -1 = 3x^4 $ cosi facendo il numeratore sarebbe zero! quindi il tutto convergerebbe per ogni valore di b?
io come prima cosa lo vedo come due integrali, uno che va da 0 a 2 e l'altro da due a piu infinito.
nel primo intrale sostituisco gli sviluppi di taylor e qui la prima domanda fino a che grado posso arrivare? perche $ 3e^(x^4) -1 = 3x^4 $ cosi facendo il numeratore sarebbe zero! quindi il tutto convergerebbe per ogni valore di b?
Risposte
Eh no! Stai dicendo che quella funzione, non costante, è pari a zero sempre! Ti pare possibile? Devi usare uno sviluppo dell'esponenziale a ordini maggiori, non puoi metterci zero!
ma al sinh posso fermarmi al primo? vero?
Tu lo sai cos'è la parte principale di una funzione?
si quella che determina il comportamento primario! ad esempio $x -> 0 $ mentre $x ->$ infinito, considero l'esponente piu alto! intendi questo?
Oddio, definizione alquanto "da brivido", ma il succo è quello (ti consiglio di rivederla, questa definizione)
Quello che devi fare, in soldoni, è determinare le parti principali di numeratore e denominatore e farne il rapporto per determinare l'ordine di infinito/infinitesimo della tua funzione. Ecco perché al numeratore non puoi arrestare lo sviluppo ad ordini bassi 8che si cancellano) e devi proseguire, mentre a denominatore basta considerare il primo termine dello sviluppo.
Quello che devi fare, in soldoni, è determinare le parti principali di numeratore e denominatore e farne il rapporto per determinare l'ordine di infinito/infinitesimo della tua funzione. Ecco perché al numeratore non puoi arrestare lo sviluppo ad ordini bassi 8che si cancellano) e devi proseguire, mentre a denominatore basta considerare il primo termine dello sviluppo.
quindi avrei $int (1/6 (3x^4)^3)/(bx^b)$ il tutto da 0 a 1 vero?
quindi converge per $ b - 11 <1 -> b < 12 $ esatto?
Lo sviluppo di $e^t=1+t+t^2/2+o(t^2)$. Basta sostituire $t=3x^4$. Non ho idea di come tu abbia calcolato lo sviluppo del numeratore, sinceramente. Dove sta il termine di secondo grado?
no errore mio! ho sbagliato a leggere dalle tabelle! scusami! e uno volta fatto cosi ho che rimane solo $(9 x^8 )/ (4bx^b)$ e da li uso le formule di risoluzione?
Da lì, ottieni che la funzione si comporta come $9/{b x^{b-8}}$ e pertanto il suo integrale in $x=0$ converge se e solo se...
b - 8 < 1 quindi b < 9 esatto?
Esatto. Invece che mi dici dell'altro caso? Quando integri verso infinito?
allora qui io avevo pensato al numeratore di considerare solamente $ e^(3x^4)$ mentre al numeratore avevo pensato di applicare la definizione di $sinh = (e^t - e^(-t))/2$ giusto come ragionamento?
Sì. E quindi cosa concludi?
quindi concludo che b debba essere maggiore di 4 vero?
in conclusione $4
Non ti seguo: a cosa rendi asintotico il $\sinh(bx^b)$? Per cui, a cosa è asintotico il queoziente tra numeratore e denominatore? A me risulta che venga qualcosa che dipende dagli esponenziali... non credi?
P.S.: Tra l'altro, $b$ è positivo o è un numero reale qualsiasi? perché nel secondo caso, devi considerare separatamente le due cose (cioè quando $b>0,\ b<0$).
P.S.: Tra l'altro, $b$ è positivo o è un numero reale qualsiasi? perché nel secondo caso, devi considerare separatamente le due cose (cioè quando $b>0,\ b<0$).
io aveva fatto: $ sinh(bx^b)=((e^(bx^b)) - (e^(-b(x^b))))/2 $ e a numeratore sempre $3x^4$.
il denominatore l'avevo reso asintotico a $ e^(b(x^b))$ non considerando per $b > 1$ si aveva $e^(-bx^b)$ circa 0, di conseguenza facevo rapporto tra gli esponenti perche avrei avuto $3x^4/(bx^b)$ avrei detto che converge solo per b > 4
il denominatore l'avevo reso asintotico a $ e^(b(x^b))$ non considerando per $b > 1$ si aveva $e^(-bx^b)$ circa 0, di conseguenza facevo rapporto tra gli esponenti perche avrei avuto $3x^4/(bx^b)$ avrei detto che converge solo per b > 4
E gli esponenziali? I confronti giusti sono i seguenti: numeratore $\sim e^{3x^4}$, denominatore $\sim 1/2 e^{bx^b}$, pertanto la funzione si comporta come $\frac{1}{2}\ e^{3x^4-bx^b}$. Ora la domanda è: quando la funzione $e^{at^n}$ ha integrale convergente ad infinito? Per quali valori di $a,\ n$? Se sai rispondere a questa domanda, automaticamente capirai cosa devi imporre per $b$.
P.S.: la risposta che hai dato è esatta, ma non puoi tralasciare gli esponenziali: stai considerando $x\to+\infty$ e in questo caso non è più vero che $e^x\sim 1+x$ (questo accade per $x\to 0$).
P.S.: la risposta che hai dato è esatta, ma non puoi tralasciare gli esponenziali: stai considerando $x\to+\infty$ e in questo caso non è più vero che $e^x\sim 1+x$ (questo accade per $x\to 0$).
sisi perfetto hai pienamente ragione! io invece avevo ragionato nel seguente modo: avevo pensato che l'integrale fosse convergente se e solo se il rapporto tra numeratore e denominatore fosse 0, di conseguenza ho pensato che fosse 0 solamente se l'esponenziale a denominatore avesse un grado maggiore di quello al numeratore esatto?
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