Chiarimenti in merito ad alcuni compiti svolti di Analisi I
Salve a tutti, apro questo topic per chiedere chiarimenti, ma soprattutto per discutere su alcuni punti relativi a degli esercizi svolti dal mio Professore di Analisi.
Esercizio 1
Calcolare, al variare di $\lambdainRR$, il limite $ lim_(x -> +infty) (log(2+e^(x-3))-x^(1/lambda)) $.
In questo caso l'unica cosa che non mi convince è l'utilizzo di $o$ piccolo per un'approssimazione all'infinito (quando nessun termine tende a zero peraltro):
$log(2+e^(x-3))\simloge^(x-3)=x-3$ per $x->+infty$
Questa sarebbe stata la mia maniera di approssimare all'infinito. Nell'esercizio svolto invece viene aggiunto $o(x-3)$ cioè:
$log(2+e^(x-3))\simx-3+o(x-3)$
Nella fattispecie quindi, secondo voi, è corretto utilizzare questa sintassi?
Esercizio 2
Si consideri la funzione integrale $F(x)$ definita $ F(x):=int_(0)^(x) (tlogt)/(logt-1)dt $. Determinarne il campo di esistenza e tracciarne un grafico qualitativo.
Il campo di esistenza della funzione integranda è chiaramente $(0,e)U(e,+infty)$. Quando vengono calcolati i limiti però, non si calcola quello per $x->e^+$. Vengono calcolati solamente quello per $x->0^+$ e quello per $x->e^-$. Non riesco a comprendere il motivo di questa scelta visto che anche $e$ da destra è un valore estremante del dominio.
Per verificare poi se l'integrale $int_(0)^(e) (tlogt)/(logt-1)dt$ converge, viene applicato il criterio asintotico arrivando infine a questo limite:
$ -e^2alpha*lim_(x -> e^-) (e-x)^(alpha-1)=-e^2 $ per $\alpha=1$
e si conclude che, in virtù di questo risultato, l'integrale diverge a $-infty$. Ma come si fa a concludere in questo modo se il criterio asintotico non dice nulla quando il risultato del limite è minore di zero?
Studiando infine la derivata prima di $F(x)$, che è uguale alla funzione integranda, viene detto che, nel punto $x=1$, la funzione presenta un massimo relativo, ma visto è considerato che, da quel punto in poi, la funzione decresce infinitamente, non sarebbe più corretto parlare di massimo assoluto?
Esercizio 3
Si consideri la funzione integrale $F(x)$ definita $ F(x):=int_(0)^(x) (x+1)*e^((log|x+1|)^2/2)dx $. Determinarne il campo di esistenza e tracciarne un grafico qualitativo.
Viene detto che $F(x)$ è definita per $x> -1$, ma non dovrebbe essere definita per $x!=-1$? Probabilmente faccio confusione tra il campo di esistenza della funzione integrale e quello della funzione integranda, ma non riesco a capirne la differenza.
Vi ringrazio anticipatamente per le vostre risposte.
Esercizio 1
Calcolare, al variare di $\lambdainRR$, il limite $ lim_(x -> +infty) (log(2+e^(x-3))-x^(1/lambda)) $.
In questo caso l'unica cosa che non mi convince è l'utilizzo di $o$ piccolo per un'approssimazione all'infinito (quando nessun termine tende a zero peraltro):
$log(2+e^(x-3))\simloge^(x-3)=x-3$ per $x->+infty$
Questa sarebbe stata la mia maniera di approssimare all'infinito. Nell'esercizio svolto invece viene aggiunto $o(x-3)$ cioè:
$log(2+e^(x-3))\simx-3+o(x-3)$
Nella fattispecie quindi, secondo voi, è corretto utilizzare questa sintassi?
Esercizio 2
Si consideri la funzione integrale $F(x)$ definita $ F(x):=int_(0)^(x) (tlogt)/(logt-1)dt $. Determinarne il campo di esistenza e tracciarne un grafico qualitativo.
Il campo di esistenza della funzione integranda è chiaramente $(0,e)U(e,+infty)$. Quando vengono calcolati i limiti però, non si calcola quello per $x->e^+$. Vengono calcolati solamente quello per $x->0^+$ e quello per $x->e^-$. Non riesco a comprendere il motivo di questa scelta visto che anche $e$ da destra è un valore estremante del dominio.
Per verificare poi se l'integrale $int_(0)^(e) (tlogt)/(logt-1)dt$ converge, viene applicato il criterio asintotico arrivando infine a questo limite:
$ -e^2alpha*lim_(x -> e^-) (e-x)^(alpha-1)=-e^2 $ per $\alpha=1$
e si conclude che, in virtù di questo risultato, l'integrale diverge a $-infty$. Ma come si fa a concludere in questo modo se il criterio asintotico non dice nulla quando il risultato del limite è minore di zero?
Studiando infine la derivata prima di $F(x)$, che è uguale alla funzione integranda, viene detto che, nel punto $x=1$, la funzione presenta un massimo relativo, ma visto è considerato che, da quel punto in poi, la funzione decresce infinitamente, non sarebbe più corretto parlare di massimo assoluto?
Esercizio 3
Si consideri la funzione integrale $F(x)$ definita $ F(x):=int_(0)^(x) (x+1)*e^((log|x+1|)^2/2)dx $. Determinarne il campo di esistenza e tracciarne un grafico qualitativo.
Viene detto che $F(x)$ è definita per $x> -1$, ma non dovrebbe essere definita per $x!=-1$? Probabilmente faccio confusione tra il campo di esistenza della funzione integrale e quello della funzione integranda, ma non riesco a capirne la differenza.
Vi ringrazio anticipatamente per le vostre risposte.
Risposte
Per quanto riguarda l'Es. 1, che l'uso dell'[tex]$\text{o}$[/tex] piccolo sia corretto lo puoi ad esempio vedere così:
[tex]$\ln (2+e^{x-3}) =\ln e^{x-3}\ \left( 1+\frac{2}{e^{x-3}}\right) =x-3+\ln \left( 1+\frac{2}{e^{x-3}}\right)$[/tex]
e l'ultimo addendo è proprio un [tex]$\text{o}(x-3)$[/tex].
[tex]$\ln (2+e^{x-3}) =\ln e^{x-3}\ \left( 1+\frac{2}{e^{x-3}}\right) =x-3+\ln \left( 1+\frac{2}{e^{x-3}}\right)$[/tex]
e l'ultimo addendo è proprio un [tex]$\text{o}(x-3)$[/tex].
"gugo82":
Per quanto riguarda l'Es. 1, che l'uso dell'[tex]$\text{o}$[/tex] piccolo sia corretto lo puoi ad esempio vedere così:
[tex]$\ln (2+e^{x-3}) =\ln e^{x-3}\ \left( 1+\frac{2}{e^{x-3}}\right) =x-3+\ln \left( 1+\frac{2}{e^{x-3}}\right)$[/tex]
e l'ultimo addendo è proprio un [tex]$\text{o}(x-3)$[/tex].
Va bene, ma ragionando per $x->0$, non all'infinito. O sbaglio?
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