Chiarimenti dimostrazione del prodotto di limite

[Sheker]

Buonasera
la nostra prof di analisi ci ha fatto la dimostrazione del prodotto di 2 limiti, cioè:

$lim_(x->x_0)[f(x)g(x)]=l_1 l_2$
$AA\epsilon>0$ $EE B_1 di$ $x_0:AAx inB_1$ $l_1-\epsilon<=f(x)<=l_1+\epsilon$
$AA\epsilon>0$ $EE B_2 di$ $x_0:AAx inB_2$ $l_2-\epsilon<=g(x)<=l_2+\epsilon$

Voglio provare
$AA\epsilon>0$ $EE B$ $di$ $x_0:AAx inB$ $l_1l_2-\epsilon<=f(x)g(x)<=l_1l_2+\epsilon$

Poniamo
$|f(x)g(x)-l_1l_2|<\epsilon$ e aggiungiamo/togliamo il valore $f(x)l_2$ per ottenere
$|f(x)[g(x)-l_2] + l_2[f(x)-l_1]|<\epsilon$

Dato che $|a+b|<=|a|+|b|$
allora $|f(x)[g(x)-l_2] + l_2[f(x)-l_1]|<=|f(x)[g(x)-l_2]| + |l_2[f(x)-l_1]|$
e dato che $|ab|=|a||b|$
si ha $|f(x)[g(x)-l_2] + l_2[f(x)-l_1]|<=|f(x)| |g(x)-l_2|+|l_2| |f(x)-l_1|$

Se $|g(x)-l_2|<=\epsilon$ e $|f(x)-l_1|<=\epsilon$ (XYZ)
si ha che $B_1nnnB_2 <= |f(x)|\epsilon + |l_2|\epsilon$

Poniamo inoltre che la funzione sia localmente limitata, cioò $|f(x)|<=k AAx in B^n di$ $x_0$ ($B^n$ è l'intorno di $x_0$ dove la funzione è localmente limitata) e quindi si ha
$B=B^n$$nnnB_1nnnB_2<=|f(x)|\epsilon + |l_2|\epsilon<=k\epsilon + |l_2|\epsilon$

Ora...la prof qui ha detto che il teorema è dimostrato ma ci sono un paio di cose che non mi quadrano...dall'ultima come posso passare alla tesi del teorema, cioè $l_1l_2-\epsilon<=f(x)g(x)<=l_1l_2+\epsilon$ ?
Inoltre nel passaggio (XYZ) abbiamo sostituito $|g(x)-l_2|$ e $|f(x)-l_2|$ con il valore epsilon...però si tratta di disuguaglianze e non di uguaglianze...quindi com'è possibile?

ps. spero di non aver fatto errori sintattici!!

[EnderWiggins]

Per quanto riguarda la prima domanda ricordati che la catena di disuguaglianze parte con $|f(x)g(x)-l_1l_2| <=$ e termina con $<=k\epsilon + |l_2|\epsilon$ dunque ho ottenuto (lasciami chiamare $\epsilon_1$ quello di $f(x)$ e $\epsilon_2$ quello di $g(x)$ per evitare confusioni..) :
$|f(x)g(x)-l_1l_2| <= k\epsilon_2 + |l_2|\epsilon_1$
Se scelgo $\epsilon = k\epsilon_2 + |l_2|\epsilon_1$ ho la tesi (posso perchè vale $AA \epsilon_1 > 0, \epsilon_2 > 0$, dunque $AA \epsilon > 0$).
Quanto alla seconda, dal momento che si tratta di maggiorazioni, se $|f(x) - l_1| <= \epsilon_1$ e $|g(x) - l_2| <= \epsilon_2$, sicuramente $|f(x) - l_1| + |g(x) - l_2| <=\epsilon_1 + \epsilon_2$, dunque anche
$|f(x)||g(x)-l_2|+|l_2||f(x)-l_1| <= |f(x)|\epsilon_2 + |l_2|\epsilon_1 <= k\epsilon_2 + |l_2|\epsilon_1$
Spero di essere riuscito a spiegarmi come volevo..

[Sheker]

Grazie mille...sei stato molto di aiuto!!
ps. Scusa se rispondo solo ora ma sono stato parecchio impegnato in settimana!