Chiarimenti differenziale e suo utilizzo in fisica
Salve a tutti, ho bisogno di chiarimenti riguardo:
1) il significato del $ dx $ nella "notazione" di derivata di leibniz \( f'(x)= \) \( \frac{dy}{dx} \).
Se è solo una notazione perchè ho visto fare molto spesso in fisica "moltiplicazione ambo i membri per dx ed integrazione" : \( f'(x)=\frac{dy}{dx} \Rightarrow f'(x)*dx = dy \Rightarrow \int dy = \int f(x)*dx \).
Dal punto di vista matematico so che il differenziale di una funzione $ f(x) $ è nient'altro che $ dy = f'(x)*Deltax $ ovvero la derivata della funzione per l'incremento della variabile indipendente , come viene spiegata l'operazione di "moltiplicazione per dx ed integrazione" alla luce di questa definizione?
2) l'utilizzo del differenziale in fisica inteso come incremento infinitesimo.
Ad esempio nel caso del calcolo del campo elettrico prodotto da un anello carico $ C $ , non riesco a giustificarmi ragionamenti del tipo: Consideriamo l'elemento infinitesimo di anello $ dC $, questo genererà nel punto P un campo elettrico infinitesimo \( \overrightarrow{dE} \). Ora per trovare il campo totale prodotto dall'anello nel punto P \( \overrightarrow{E} \) "si sommano tutti gli elementi infinitesimi che formano l'anello, ovvero si fa un integrale su tutta la linea $ C $, quindi \( \overrightarrow{E} = \int_{C} d\overrightarrow{E} \).
Come si spiega tutto ciò?
1) il significato del $ dx $ nella "notazione" di derivata di leibniz \( f'(x)= \) \( \frac{dy}{dx} \).
Se è solo una notazione perchè ho visto fare molto spesso in fisica "moltiplicazione ambo i membri per dx ed integrazione" : \( f'(x)=\frac{dy}{dx} \Rightarrow f'(x)*dx = dy \Rightarrow \int dy = \int f(x)*dx \).
Dal punto di vista matematico so che il differenziale di una funzione $ f(x) $ è nient'altro che $ dy = f'(x)*Deltax $ ovvero la derivata della funzione per l'incremento della variabile indipendente , come viene spiegata l'operazione di "moltiplicazione per dx ed integrazione" alla luce di questa definizione?
2) l'utilizzo del differenziale in fisica inteso come incremento infinitesimo.
Ad esempio nel caso del calcolo del campo elettrico prodotto da un anello carico $ C $ , non riesco a giustificarmi ragionamenti del tipo: Consideriamo l'elemento infinitesimo di anello $ dC $, questo genererà nel punto P un campo elettrico infinitesimo \( \overrightarrow{dE} \). Ora per trovare il campo totale prodotto dall'anello nel punto P \( \overrightarrow{E} \) "si sommano tutti gli elementi infinitesimi che formano l'anello, ovvero si fa un integrale su tutta la linea $ C $, quindi \( \overrightarrow{E} = \int_{C} d\overrightarrow{E} \).
Come si spiega tutto ciò?
Risposte
Sono questioni molto dibattute che ciclicamente ritornano (se cerchi nel forum probabilmente ne troverai ...)
A riguardo del primo punto ti posso dire (grossolanamente perché di più non posso fare
) che nei casi in cui si usa (a proposito e correttamente) il $dx$ come se fosse una variabile è perché a monte c'è un qualche teorema che permette di farlo, ovvero l' espressione che si ottiene dopo aver operato in tal modo è equivalente (o comunque logicamente conseguente) a quella originaria.
Spero di aver contribuito al "chiarimento" e non al "dubbio" ...
Cordialmente, Alex
A riguardo del primo punto ti posso dire (grossolanamente perché di più non posso fare
) che nei casi in cui si usa (a proposito e correttamente) il $dx$ come se fosse una variabile è perché a monte c'è un qualche teorema che permette di farlo, ovvero l' espressione che si ottiene dopo aver operato in tal modo è equivalente (o comunque logicamente conseguente) a quella originaria.Spero di aver contribuito al "chiarimento" e non al "dubbio" ...
Cordialmente, Alex
Ringrazio alex per la risposta, vorrei però approfondire meglio la questione perché sono dubbi che mi ossessionano da un po' di tempo e a cui non riesco a dare una spiegazione definitiva. 
Oh, anch'io ne ho molti di dubbi ma non mi ossessionano ... 
Comunque, come detto, cerca nel forum perché troverai molto materiale ...
Comunque, come detto, cerca nel forum perché troverai molto materiale ...
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