Chiarimenti controimmagine

[One2]

Data $f(x,y)=(x^2+4y^2;x^2-4y^2)$
Devo calcolare la controimmagine$f^-1(1;-1)$
Dopo aver svolto i calcoli mi ritrovo $y^2=1/4$
Vorrei sapere se è corretto allora scrivere che $y=\pm 1/2$ ed $x=\pm1$
Inoltre nel caso in cui $f^-1(1;3)$
ottengo $y=(1/2)i$ è accettabile come risultato sapendo che la funzione è $R^2->R^2$?

[Luca.Lussardi]

Sull'ultima richiesta direi proprio di no... quanto alla prima ricontrolla i conti perchè se $x=\pm 1$ e $y=\pm 1/2$ allora si ha $f(x,y)=(2,0)$.

[One2]

Mi potete dire a cosa corrisponde il grafico di questa funzione(iperbole?) e se la sua immagine è $R^2$?

[Luca.Lussardi]

Il grafico è un sottoinsieme di $\RR^4$, non lo puoi vedere; la cosa più semplice, e utile, per funzioni $\RR^2 \to \RR^2$ è vederle come campi vettoriali in $\RR^2$, per cui al punto $(x,y)$ appiccichi il vettore $f(x,y)$.

Per controllare se l'immagine è tutto $\RR^2$ devi verificare che il sistema $f(x,y)=(a,b)$ ha soluzione per ogni $a,b \in \RR$.

[One2]

OK,credo di aver capito...
Quindi l'immagine non è $RR^2$,ma $RR$,giusto?
Non ho ben capito invece la parte riguardante il grafico

[Luca.Lussardi]

L'immagine la devi determinare tu, il codominio è $\RR^2$, anche se non è stato detto esplicitamente (di solito assegnare una funzione significa assegnare dominio, codominio=insieme dove vengono assunti i valori, come opera la funzione). L'immagine quindi è un sottoinsieme di $\RR^2$, e per determinarla devi risolvere il sistema $f(x,y)=(a,b)$, o perlomeno dire per quali $a,b \in \RR$ esso ha soluzione.

Il grafico di $f$ è l'insieme ${(x,y,f(x,y)) : (x,y) \in \RR^2} \subseteq \RR^4$.