Chiarimanto su teorema su Sigma-Additività.
Sul libro che sto studiando (Introduzione all'analisi funzionale - Cannarsa) mi sono imbattuto in un'asserzione che non mi è molto chiara.
C'è un teorema che dice che
Sia $\mu$ una funzione $\sigma$-additiva su un'algebra $K$.
Se $A_n$ è una successione in K, $A in K$, $\mu(A_1) < infty$ e $A_n downarrow A$ allora $\mu(A_1) downarrow \mu(A)$
E fin qui tutto ok.
Poi dice che senza l'ipotesi $\mu(A_1) < infty$ la proposizione è falsa e porta quest'esempio:
Se K e $\mu$ sono rispettivamente
$K = { A in P(NN) | A text{ è finito, oppure } A^C text{è finito} }$
$\mu(A) = {(card(A), text{se A è finito}),( infty ,text{se} A^C text{ è finito}):}$
e $A_n = {m in NN | m>=n}$
E intuitivamente lo capisco visto che la conclusione è che ha poco senso tendere all'infinito "dall'alto", ma non capisco il motivo rigoroso di ciò...
Potreste aiutarmi per favore?
Grazie!
C'è un teorema che dice che
Sia $\mu$ una funzione $\sigma$-additiva su un'algebra $K$.
Se $A_n$ è una successione in K, $A in K$, $\mu(A_1) < infty$ e $A_n downarrow A$ allora $\mu(A_1) downarrow \mu(A)$
E fin qui tutto ok.
Poi dice che senza l'ipotesi $\mu(A_1) < infty$ la proposizione è falsa e porta quest'esempio:
Se K e $\mu$ sono rispettivamente
$K = { A in P(NN) | A text{ è finito, oppure } A^C text{è finito} }$
$\mu(A) = {(card(A), text{se A è finito}),( infty ,text{se} A^C text{ è finito}):}$
e $A_n = {m in NN | m>=n}$
E intuitivamente lo capisco visto che la conclusione è che ha poco senso tendere all'infinito "dall'alto", ma non capisco il motivo rigoroso di ciò...
Potreste aiutarmi per favore?
Grazie!
Risposte
Uuh che controesempio complicato. Io prenderei la retta \(\mathbb{R}\) con la misura ordinaria di Lebesgue. La famiglia di semirette \([n, +\infty)\) è decrescente per inclusione e \(\cap_{n=1}^\infty [n, \infty)=\varnothing\), ma \(\mu([n, \infty))=\infty\) per ogni \(n\) e non è certo vero che \(+\infty \to 0=\mu(\varnothing)\).
Cosa intendi per motivo rigoroso? I calcoli?
Se si si tratta piu' o meno dell'esempio che ti ha ffo dissonance.
Infatti $A_n={n, n+1, n+2,...}$ appartengono all'algebra, sono decrescenti e tendono all'insieme vuoto.
Hai poi che:
$mu(A_n)= + infty \ !=\ 0\ = \ mu( emptyset )$.
Piu' che altro a mene viene interessante (e magari anche un po strano) definire una misura sigma additiva su un' algebra.
Se si si tratta piu' o meno dell'esempio che ti ha ffo dissonance.
Infatti $A_n={n, n+1, n+2,...}$ appartengono all'algebra, sono decrescenti e tendono all'insieme vuoto.
Hai poi che:
$mu(A_n)= + infty \ !=\ 0\ = \ mu( emptyset )$.
Piu' che altro a mene viene interessante (e magari anche un po strano) definire una misura sigma additiva su un' algebra.
@DajeForte: Stai considerando lo spazio di misura \(\mathbb{N}\) con la misura che conta, i.e. \(\mu (X)=\operatorname{card} (X)\) per \(X\in \mathcal{P}(\mathbb{N})\)?
Si considero come $Omega=mathbb{N}$ e come algebra $K$.
Ma perché il libro di Cannarsa prende come \(\sigma\)-algebra la seguente? (cito dal post originale di boulayo)
\[
K=\{A\in \mathcal{P}(\mathbb{N})\mid A\ \text{è finito oppure}\ A^C\ \text{è finito}\}.
\]
Non si poteva prendere, molto più semplicemente, \(K=\mathcal{P}(\mathbb{N})\)?
\[
K=\{A\in \mathcal{P}(\mathbb{N})\mid A\ \text{è finito oppure}\ A^C\ \text{è finito}\}.
\]
Non si poteva prendere, molto più semplicemente, \(K=\mathcal{P}(\mathbb{N})\)?
K è una algebra ma non una sigma algebra.
Il teorema citato pone come dominio della misura una algebra.
Quello che suona un pó strano è che si definisce una misura sigma additiva su un alebra e non su una sigma algebra.
Il teorema citato pone come dominio della misura una algebra.
Quello che suona un pó strano è che si definisce una misura sigma additiva su un alebra e non su una sigma algebra.
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