Chiarezza sui punti di discontinuità
Salve a tutti,
credete sia lecito includere tra i punti di discontinuità di una funzione, quei punti in cui la funzione non è definita, ma che appartengono alla chiusura del dominio? Ci sono alcuni libri di liceo che sostengono che, ad esempio, 0 è un punto di discontinuità di seconda specie per la funzione 1/x. E questo mi ha sconvolto!
credete sia lecito includere tra i punti di discontinuità di una funzione, quei punti in cui la funzione non è definita, ma che appartengono alla chiusura del dominio? Ci sono alcuni libri di liceo che sostengono che, ad esempio, 0 è un punto di discontinuità di seconda specie per la funzione 1/x. E questo mi ha sconvolto!
Risposte
"kovalevskaya":
Salve a tutti,
credete sia lecito includere tra i punti di discontinuità di una funzione, quei punti in cui la funzione non è definita, ma che appartengono alla chiusura del dominio?
assolutamente sì; anzi, mi meraviglia che ci siano libri che non lo fanno
Non ho trovato una cosa del genere in nessun libro universitario.
la mia meraviglia aumenta 
Potresti argomentare la risposta piuttosto che continuare a meravigliarti?
A me hanno insegnato che la continuità (e quindi la discontinuità) va studiata nel dominio della funzione. Nell'esempio che ho riportato la funzione 1/x non è definita in 0, per cui non ha senso parlare di discontinuità in zero.
Si accettano risposte costruttive, grazie.
A me hanno insegnato che la continuità (e quindi la discontinuità) va studiata nel dominio della funzione. Nell'esempio che ho riportato la funzione 1/x non è definita in 0, per cui non ha senso parlare di discontinuità in zero.
Si accettano risposte costruttive, grazie.
Osserva che,per parlare di continuità di $f:X to RR$ in un punto $x_0 in RR$,occorrono parecchie condizioni simultanee,
tra le quali il fatto che $x_0 in domf$;
se perdi anche "solo" quest'ultima hai,allora,perso la possibilità che f sia continua in $x_0$
(o se preferisci,che tanto in Logica dicotonica è dire la stessa cosa,hai certezza della discontinuità in $x_0$..),
ma ciò non t'impedisce d'indagare sul tipo di salto di discontinuità che,in tal caso,si realizza in intorni di $x_0$ "leciti"
(ossia contenuti in $domf$):
fermo restando che esso può esser nullo
(nel caso della dicontinuità eliminabile,anche se quì m'aspetto una tua domanda avendolo scritto male..),
positivo(discontinuità di prima specie),infinito o "non calcolabile"(*)(discontinuità di seconda specie).
Saluti dal web.
(*)Qualora cioè almeno uno dei due limiti dx o sx,pur lecito da chiedere,non esista..
P.S.Fino ad oggi,in questo Forum,ironia un pò inopportuna e risposte piccate si sono esposte in pubblico in modo decisamente più soft:
non sarebbe male tenerlo in conto,che così facendo ci s'è trovati sempre(o quasi)tutti(o quasi)bene,
e s'è fornito un eccellente servizio di base alla Cultura Scientifica(e non solo..)!
tra le quali il fatto che $x_0 in domf$;
se perdi anche "solo" quest'ultima hai,allora,perso la possibilità che f sia continua in $x_0$
(o se preferisci,che tanto in Logica dicotonica è dire la stessa cosa,hai certezza della discontinuità in $x_0$..),
ma ciò non t'impedisce d'indagare sul tipo di salto di discontinuità che,in tal caso,si realizza in intorni di $x_0$ "leciti"
(ossia contenuti in $domf$):
fermo restando che esso può esser nullo
(nel caso della dicontinuità eliminabile,anche se quì m'aspetto una tua domanda avendolo scritto male..),
positivo(discontinuità di prima specie),infinito o "non calcolabile"(*)(discontinuità di seconda specie).
Saluti dal web.
(*)Qualora cioè almeno uno dei due limiti dx o sx,pur lecito da chiedere,non esista..
P.S.Fino ad oggi,in questo Forum,ironia un pò inopportuna e risposte piccate si sono esposte in pubblico in modo decisamente più soft:
non sarebbe male tenerlo in conto,che così facendo ci s'è trovati sempre(o quasi)tutti(o quasi)bene,
e s'è fornito un eccellente servizio di base alla Cultura Scientifica(e non solo..)!
theras,mi sembra che la mi risposta non sia stata per niente sopra le righe
quindi,datti una calmata e non fare il talebano
quindi,datti una calmata e non fare il talebano
"kovalevskaya":
Potresti argomentare la risposta piuttosto che continuare a meravigliarti?
detto da una che è rimasta sconvolta......
La prima no,ma nella seconda hai insistito in un'ironia che,ti ripeto,era evidentemente inopportuna
(sia a priori che a posteriori..):
tant'è che ha generato una risposta,anch'essa sopra le righe,in toni che non mi pare si sposino in pieno con la netiquette
finora comunemente in vigore su questo Forum.
Siete entrambi utenti di recente iscrizione,e dunque non siete tenuti a notare subito in pieno gli standard comportamentali tipici d'un posto nuovo(spesso,ne convengo,di più difficile decifrazione dei "misteri" della Matematica..);
ho preferito allora tagliare la testa al toro in modo soft,che le discussioni non ci stanno nulla a degenerare ed è sempre un peccato,a maggior ragione tra queste pagine,quando ciò accade per nulla
(ecco perchè la risposta "tecnica" l'ho data io per te..):
se ti basta questo a darmi del talebano il problema non è mio,
e detto questo t'invito a riflettere prima di scrivere ogni altra cosa e,infine,mi taccio.
Saluti dal web.
(sia a priori che a posteriori..):
tant'è che ha generato una risposta,anch'essa sopra le righe,in toni che non mi pare si sposino in pieno con la netiquette
finora comunemente in vigore su questo Forum.
Siete entrambi utenti di recente iscrizione,e dunque non siete tenuti a notare subito in pieno gli standard comportamentali tipici d'un posto nuovo(spesso,ne convengo,di più difficile decifrazione dei "misteri" della Matematica..);
ho preferito allora tagliare la testa al toro in modo soft,che le discussioni non ci stanno nulla a degenerare ed è sempre un peccato,a maggior ragione tra queste pagine,quando ciò accade per nulla
(ecco perchè la risposta "tecnica" l'ho data io per te..):
se ti basta questo a darmi del talebano il problema non è mio,
e detto questo t'invito a riflettere prima di scrivere ogni altra cosa e,infine,mi taccio.
Saluti dal web.
theras mi scuso per non aver capito lo spirito del tuo intervento
volevo precisare che il tono ironico del secondo post l'ho usato nei confronti di una replica che mi sembrava un po' aggressiva
Saluti
volevo precisare che il tono ironico del secondo post l'ho usato nei confronti di una replica che mi sembrava un po' aggressiva
"kovalevskaya":
Non ho trovato una cosa del genere in nessun libro universitario.
Saluti
Si,certo,m'era chiaro:
è che in questi casi,da queste parti,si riponde con un silenzio eloquente,
e s'aspettano eventuali toni più colloquiali dell'altro utente
.
Tutto chiarito,per quanto mi riguarda,in attesa della risposta di "Sonia"
(sempre sperando che riguardi la Matematica o,quanto meno,non abbia contenuti troppo sopra le righe):
saluti dal web.
è che in questi casi,da queste parti,si riponde con un silenzio eloquente,
e s'aspettano eventuali toni più colloquiali dell'altro utente
.Tutto chiarito,per quanto mi riguarda,in attesa della risposta di "Sonia"
(sempre sperando che riguardi la Matematica o,quanto meno,non abbia contenuti troppo sopra le righe):
saluti dal web.
Sono d'accordo con Theras sulla questione matematica e sul fatto che sia intervenuto sull'ultima affermazione sotto riportata.
assolutamente sì; anzi, mi meraviglia che ci siano libri che non lo fanno[/quote]
Per quanto riguarda le definizioni è chiaro che ognuno se le può "aggiustare" come meglio crede; secondo me vale però il principio che la definizione particolare (in questo caso, di continuità per una funzione reale di variabile reale) debba rientrare come caso particolare della definizione generale (nella fattispecie, di continuità di una funzione fra spazi topologici o metrici).
Nella definizione generale non ha senso parlare di continuità (o non continuità) al di fuori del dominio della funzione; sarebbe come chiedersi se una funzione definita sulle pere è continua o meno sulle mele.
Purtroppo, però, è un dato di fatto che si trovino perversioni di varia umanità quando le funzioni sono di variabile reale (come sottolineava Theras, queste perversioni sono più frequenti nei libri di liceo).
"raf85":
[quote="kovalevskaya"]Salve a tutti,
credete sia lecito includere tra i punti di discontinuità di una funzione, quei punti in cui la funzione non è definita, ma che appartengono alla chiusura del dominio?
assolutamente sì; anzi, mi meraviglia che ci siano libri che non lo fanno[/quote]
Per quanto riguarda le definizioni è chiaro che ognuno se le può "aggiustare" come meglio crede; secondo me vale però il principio che la definizione particolare (in questo caso, di continuità per una funzione reale di variabile reale) debba rientrare come caso particolare della definizione generale (nella fattispecie, di continuità di una funzione fra spazi topologici o metrici).
Nella definizione generale non ha senso parlare di continuità (o non continuità) al di fuori del dominio della funzione; sarebbe come chiedersi se una funzione definita sulle pere è continua o meno sulle mele.
Purtroppo, però, è un dato di fatto che si trovino perversioni di varia umanità quando le funzioni sono di variabile reale (come sottolineava Theras, queste perversioni sono più frequenti nei libri di liceo).
ok parliamo di matematica
allora ,anche nel caso della funzione $ y=(senx)/x$ non ha senso parlare di punto di discontinuità nel punto $x=0$,visto che la funzione non è definita in questo punto
quindi anche il termine "punto di discontinuità eliminabile" è una leggenda metropolitana (spero di non essere stato troppo ironico
)
permettetemi di non essere d'accordo
allora ,anche nel caso della funzione $ y=(senx)/x$ non ha senso parlare di punto di discontinuità nel punto $x=0$,visto che la funzione non è definita in questo punto
quindi anche il termine "punto di discontinuità eliminabile" è una leggenda metropolitana (spero di non essere stato troppo ironico
)permettetemi di non essere d'accordo
"raf85":
ok parliamo di matematica
allora ,anche nel caso della funzione $ y=(senx)/x$ non ha senso parlare di punto di discontinuità nel punto $x=0$,visto che la funzione non è definita in questo punto
quindi anche il termine "punto di discontinuità eliminabile" è una leggenda metropolitana (spero di non essere stato troppo ironico
permettetemi di non essere d'accordo
Puoi parlare di discontinuità eliminabile, ad esempio, per la funzione \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definita da
\[
f(x) :=
\begin{cases}
\frac{\sin x}{x}, & \text{se}\ x\neq 0,\\
0, &\text{se}\ x = 0.
\end{cases}
\]
Sono d'accordo sul fatto che, per la funzione come da te scritta, si tratti di leggenda metropolitana.
Tratto dal testo universitario "Lezioni di Analisi Matematica",autori Fiorenza-Greco
"Si chiamano punti di discontinuità della funzione reale f definita in un insieme X,i punti che sono di accumulazione al finito per X ma non appartengono ad X,e i punti di accumulazione che appartengono ad X nei quali la funzione non è continua"
"Si chiamano punti di discontinuità della funzione reale f definita in un insieme X,i punti che sono di accumulazione al finito per X ma non appartengono ad X,e i punti di accumulazione che appartengono ad X nei quali la funzione non è continua"
So che non è elegante auto-citarsi, ma mi sembra di avere scritto:
E' ovvio che posso, per definizione, dire che una funzione di variabile reale è discontinua anche su tutte le pere e su tutte le stelle non appartenenti alla Via Lattea; una volta che l'ho data per definizione, diventa corretta (per definizione).
Come mi sembra di avere motivato, ritengo che non sia una "buona" definizione, visto che entra in conflitto con la definizione di continuità universalmente utilizzata in ambiti più generali; poi, è chiaro che fin quando uno frequenta ingegneria (o biologia, o qualsiasi altro CdL che non sia matematica o fisica) non si accorgerà mai della differenza (a meno che non studi da autodidatta).
"Rigel":
Per quanto riguarda le definizioni è chiaro che ognuno se le può "aggiustare" come meglio crede; secondo me vale però il principio che la definizione particolare (in questo caso, di continuità per una funzione reale di variabile reale) debba rientrare come caso particolare della definizione generale (nella fattispecie, di continuità di una funzione fra spazi topologici o metrici).
E' ovvio che posso, per definizione, dire che una funzione di variabile reale è discontinua anche su tutte le pere e su tutte le stelle non appartenenti alla Via Lattea; una volta che l'ho data per definizione, diventa corretta (per definizione).
Come mi sembra di avere motivato, ritengo che non sia una "buona" definizione, visto che entra in conflitto con la definizione di continuità universalmente utilizzata in ambiti più generali; poi, è chiaro che fin quando uno frequenta ingegneria (o biologia, o qualsiasi altro CdL che non sia matematica o fisica) non si accorgerà mai della differenza (a meno che non studi da autodidatta).
quindi Fiorenza-Greco sono dei peracottari ?
beato te che hai tutte queste sicurezze ....
beato te che hai tutte queste sicurezze ....
[ot]
Non mi sembra di avere scritto questo.
Ho scritto che gli autori (che, peraltro, hanno la mia massima stima) in questo caso hanno fatto una scelta da me non condivisa.
Mi sembra anche di avere motivato la mia risposta; non mi sembra invece che tu sia in grado di motivare la tua, salvo citare il libro in questione (io te ne potrei citare svariate decine che sono in accordo con la mia posizione).
Non sto poi a commentare il fatto che tu, implicitamente, stia dando a me del "peracottaro".[/ot]
"raf85":
quindi Fiorenza-Greco sono dei peracottari ?
Non mi sembra di avere scritto questo.
Ho scritto che gli autori (che, peraltro, hanno la mia massima stima) in questo caso hanno fatto una scelta da me non condivisa.
Mi sembra anche di avere motivato la mia risposta; non mi sembra invece che tu sia in grado di motivare la tua, salvo citare il libro in questione (io te ne potrei citare svariate decine che sono in accordo con la mia posizione).
Non sto poi a commentare il fatto che tu, implicitamente, stia dando a me del "peracottaro".[/ot]
sì,nella mia umiltà ,per rispondere cito un libro
sono un semplice laureato in matematica,non sono la reincarnazione di Gauss
per quanto riguarda la tua ultima affermazione,tecnicamente questa si chiama "coda di paglia"
sono un semplice laureato in matematica,non sono la reincarnazione di Gauss
per quanto riguarda la tua ultima affermazione,tecnicamente questa si chiama "coda di paglia"
[ot]
Per queste questioni non c'è certo bisogno di essere la reincarnazione di Gauss.
Se provi ad aprire un qualsiasi (altro) libro di analisi matematica (che so, Rudin, Lang, Apostol, o se vuoi andare sugli italiani Pagani-Salsa, De Marco, Soardi, Acerbi-Buttazzo, ...) vedrai che troverai definizioni che sono in accordo con quanto di ho già detto.
Mi sembra strano che, anche solo da semplice laureato in matematica, tu non abbia mai incontrato uno di questi libri, o comunque un libro con una definizione di continuità che non valga solo per funzioni di variabile reale (avrai pur fatto un esame di analisi reale o analisi funzionale, no?).[/ot]
"raf85":
sì,nella mia umiltà ,per rispondere cito un libro
sono un semplice laureato in matematica,non sono la reincarnazione di Gauss
Per queste questioni non c'è certo bisogno di essere la reincarnazione di Gauss.
Se provi ad aprire un qualsiasi (altro) libro di analisi matematica (che so, Rudin, Lang, Apostol, o se vuoi andare sugli italiani Pagani-Salsa, De Marco, Soardi, Acerbi-Buttazzo, ...) vedrai che troverai definizioni che sono in accordo con quanto di ho già detto.
Mi sembra strano che, anche solo da semplice laureato in matematica, tu non abbia mai incontrato uno di questi libri, o comunque un libro con una definizione di continuità che non valga solo per funzioni di variabile reale (avrai pur fatto un esame di analisi reale o analisi funzionale, no?).[/ot]
stai mettendo in dubbio che io sia laureato in matematica ?
chiudo la discussione per non trascendere
chiudo la discussione per non trascendere
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo