Chi mi toglie una curiosità? (taylor con peano e lagrange)

[kenta88]

se ho ben capito una delle differenze fondamentali dei due sviluppi è il calcolo dell'o piccolo. mi chiedo una cosa: nel calcolo del limite che diffirenza fa visto che si considera l'o piccolo come zero?
fatemi sapere

grazie mille

[kenta88]

cmq sia, se pure vi scappa vedete sto limite:

$ lim x->0 1/(xcotg(x^2)) - 1/(x^2) $

ho provato a farmi li sviluppi di seno e coseno e tutto li va bene,però poi il risultato secondo il libro e sbagliato... fatemi sapere, se volerte vi posto i pass che ho fatto.

ciao

[gugo82]

"kenta88":se ho ben capito una delle differenze fondamentali dei due sviluppi è il calcolo dell'o piccolo. mi chiedo una cosa: nel calcolo del limite che diffirenza fa visto che si considera l'o piccolo come zero?
fatemi sapere

grazie mille

Una delle operazioni che aiuta a capire se una serie di Taylor-MacLaurin converge è la maggiorazione del valore assoluto del termine complementare (o resto che dir si voglia) della formula di Taylor-MacLaurin (per brevità nel seguito scriverò t.c.f.T.) relativa alla funzione che stai analizzando.
Si capisce che non è sufficiente sapere che il t.c.f.T. d'ordine $n$ è un infinitesimo d'ordine non inferiore ad $n+1$ rispetto a $x-x_0$ per maggiorare in tranquillità: quindi si pone il problema di cercare di avere più informazioni possibili riguardo il comportamento del t.c.f.T. intorno ad $x_0$. Uno degli strumenti che abbiamo a disposizione è l'espressione di Lagrange del t.c.f.T.:

$omega_n(x)=(f^((n+1))(xi))/((n+1)!)*(x-x_0)^(n+1) quad$ (con $xi in [min{x,x_0},max{x,x_0}]$),

ma non è l'unico; ci sono anche le seguenti altre espressioni del t.c.f.T.:

- di Schlomilch: $quad omega_n(x)=(f^((n+1))(xi))/((n+1)!*m)*(x-x_0)^m*(x-xi)^(n-m+1)quad$ (con $m in NN$ e $xi in [min{x,x_0},max{x,x_0}]$);

- di Cauchy: $quad omega_n(x)=(f^((n+1))(xi))/((n+1)!)*(x-x_0)*(x-xi)^nquad$ (con $xi in [min{x,x_0},max{x,x_0}]$);

- integrale: $quad omega_n(x)=\int_(x_0)^x f^((n+1))(t)*((x-t)^n)/(n!) " d"t$.

Tutte queste espressioni danno una forma esplicita del t.c.f.T., mentre il Teorema di Peano sul t.c.f.T. dà semplicemente informazioni sull'ordine d'infinitesimo di $omega_n(x)$ in $x_0$ rispetto all'infinitesimo campione $|x-x_0|$.

[fu^2]

tirando le somme (forse mi è scappato di leggerlo nel post di gugo, però nn mi pare che l'abbia detto ) è che tutte le forme esplicite del resto dello sviluppo ti servono quando devi approssimare con cura una funzione in un certo intervallo e quindi ti serve sapere bene che errore stai commettendo.
se invece ti serve sviluppare una funzione per calcolare un limite o fare una stima asintotica allora non ti importa sapere di quanto stai sbagliando a dare l'approssimazione nel punto cercato e quindi puoi usare senz troppe menate il resto secondo Peano

[gugo82]

"kenta88":cmq sia, se pure vi scappa vedete sto limite:

$ lim x->0 1/(xcotg(x^2)) - 1/(x^2) $

ho provato a farmi li sviluppi di seno e coseno e tutto li va bene,però poi il risultato secondo il libro e sbagliato... fatemi sapere, se volerte vi posto i pass che ho fatto.

ciao

Scusa kenta88, ma è:

$ lim_(x->0) 1/(xcotg(x^2))=lim_(x->0) ("tg"x^2)/x=lim_(x->0) ("tg"x^2)/x^2*x=1*0=0$,

quindi non vedo dove sia il problema nel calcolo del tuo limite.

[fu^2]

"kenta88":cmq sia, se pure vi scappa vedete sto limite:

$ lim x->0 1/(xcotg(x^2)) - 1/(x^2) $

ho provato a farmi li sviluppi di seno e coseno e tutto li va bene,però poi il risultato secondo il libro e sbagliato... fatemi sapere, se volerte vi posto i pass che ho fatto.

ciao

posta i passaggi che almen vediam se hai sbagliato qualcosa o è il libro ad errrare