Che sbaglio in questo integrale di funzione irrazionale?
dato $intsqrt(x^2-1)/x^2 dx$ pongo $x=Cht$ e quindi $dx=Shtdt$. Sostituisco poi nell'integrale ottenendo $intsqrt(Ch^2t-1)/(Ch^2t) Sht*dt$ e siccome $Ch^2t=1+Sh^2t$ posso sostituire $Ch^2t-1$ con $Sh^2t$ che passando per la radice diventerà $Sht$ e quindi alla fine ho $int(Sh^2t)/(Ch^2t)dt$. A questo punto sostituisco di nuovo $Sh^2t$ con $1+Ch^2t$ per ottenere int(Ch^2t)/(Ch^2t)+1/(Ch^2t)dt. A questo punto ho due piccoli integrali che risultano uno $t$ e l'altro $tanht$. Procedendo in questo modo però mi viene un risultato diverso dal libro... A voi torna quello che faccio?
Risposte
Ciao Leoddio,
No, non mi torna... Se è vero che si ha $Ch^2t=1+Sh^2t $
è falso. Infatti si ha $ Sh^2t = Ch^2t - 1 $
"Leoddio":
A voi torna quello che faccio?
No, non mi torna... Se è vero che si ha $Ch^2t=1+Sh^2t $
"Leoddio":
A questo punto sostituisco di nuovo $Sh^2t $ con $ 1+Ch^2t $ per ottenere [...]
è falso. Infatti si ha $ Sh^2t = Ch^2t - 1 $
Calcola la derivata del tuo risultato, magari usando Wolfram Alpha o un altro software analogo. Se ritrovi la funzione integranda, è giusto. Altrimenti è sbagliato e toccherà capire dove è l'errore.
allora per dirla tutta la funzione da integrare è la seguente int_(1)^(2) sqrt(x^2-1)/x^2 dx.
Ho corretto l'uguaglianza fondamentale delle funzioni iperboliche come mi ha detto pilloeffe ma non basta per portarmi al risultato corretto. Io arrivo fino a questo punto $[t - tanht]_(1)^(2)$ e tornando alla funzione in x ottengo $[log(x+sqrt(x^2-1)) - tanh(log(x+sqrt(x^2-1)))]_(1)^(2)$. Ed infine ottengo $log(2+sqrt(3))-tanh(log(2+sqrt3))+tanh1$ mentre per il libro (e anche per wolfram) la soluzione è $log(2+sqrt3)-sqrt3/2$.
Ho corretto l'uguaglianza fondamentale delle funzioni iperboliche come mi ha detto pilloeffe ma non basta per portarmi al risultato corretto. Io arrivo fino a questo punto $[t - tanht]_(1)^(2)$ e tornando alla funzione in x ottengo $[log(x+sqrt(x^2-1)) - tanh(log(x+sqrt(x^2-1)))]_(1)^(2)$. Ed infine ottengo $log(2+sqrt(3))-tanh(log(2+sqrt3))+tanh1$ mentre per il libro (e anche per wolfram) la soluzione è $log(2+sqrt3)-sqrt3/2$.
"dissonance":
Calcola la derivata del tuo risultato, magari usando Wolfram Alpha o un altro software analogo. Se ritrovi la funzione integranda, è giusto. Altrimenti è sbagliato e toccherà capire dove è l'errore.
usando wolfram la discrepanza sembra presentarsi quando passo da $int sqrt(Ch^2t-1)/(Ch^2t)*Sht dt $ a $int (Sh^2t)/(Ch^2t) dt$. Allego le immagini dei risultati.
Per quanto mi secchi ammetterlo, hanno ragione WolframAlpha ed il tuo libro... 
Hai commesso un errore qui:
perché in realtà è $log(2+sqrt{3})−tanh(log(2+sqrt{3}))+tanh 0 $ e siccome si ha
$−tanh(log(2+sqrt{3}))+tanh 0 = - sqrt{3}/2 $
ecco che si ritrova il risultato fornito da WolframAlpha e dal tuo libro. Quando è possibile in questi casi è sempre meglio trovarsi prima l'integrale definito, perché se poi per caso cambiano gli estremi di integrazione tocca di rifare l'integrale da capo. Si ha:
$int sqrt(x^2-1)/x^2 dx = log(x + sqrt{x^2 - 1}) - tanh(cosh^{-1} x) + c = log(x + sqrt{x^2 - 1}) - frac{sqrt{x^2 - 1}}{x} + c $
A questo punto il calcolo dell'integrale definito proposto è semplice:
$int_1^2 sqrt(x^2-1)/x^2 dx = [log(x + sqrt{x^2 - 1}) - frac{sqrt{x^2 - 1}}{x}]_1^2 = log(2 + sqrt{3}) - sqrt{3}/2 $
Hai commesso un errore qui:
"Leoddio":
Ed infine ottengo $log(2+sqrt{3})−tanh(log(2+sqrt{3}))+tanh 1 $
perché in realtà è $log(2+sqrt{3})−tanh(log(2+sqrt{3}))+tanh 0 $ e siccome si ha
$−tanh(log(2+sqrt{3}))+tanh 0 = - sqrt{3}/2 $
ecco che si ritrova il risultato fornito da WolframAlpha e dal tuo libro. Quando è possibile in questi casi è sempre meglio trovarsi prima l'integrale definito, perché se poi per caso cambiano gli estremi di integrazione tocca di rifare l'integrale da capo. Si ha:
$int sqrt(x^2-1)/x^2 dx = log(x + sqrt{x^2 - 1}) - tanh(cosh^{-1} x) + c = log(x + sqrt{x^2 - 1}) - frac{sqrt{x^2 - 1}}{x} + c $
A questo punto il calcolo dell'integrale definito proposto è semplice:
$int_1^2 sqrt(x^2-1)/x^2 dx = [log(x + sqrt{x^2 - 1}) - frac{sqrt{x^2 - 1}}{x}]_1^2 = log(2 + sqrt{3}) - sqrt{3}/2 $
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