Che interpretazione dare alla serie
Ho un problema nel capire quale sia la soluzione della seguente serie:
$\sum_{n=1}^oo (n^2*2^n+n^2)/(3^n+1) * x^n$
Ho elaborato due diverse soluzioni.
MODO 1
$\sum_{n=1}^oo (2^n(n^2+n^2/2^n))/(3^n(1+1/3^n))$ , applico il criterio della radice e il risultato del limite è $ 2/3 $ con raggio uguale a $ 3/2 $ (se non fosse una serie di potenze, il $ 2/3 $ sarebbe il risultato della serie, che indica che è convergente).
Se metto $ x=3/2 $, ho una serie analoga a quella iniziale, che tramite il criterio del rapporto, il risultato è 3/2.
Per invece $ x=-3/2 $, la serie non converge assolutamente, ma solo semplicemente.
Quindi l'insieme di convergenza è $ (-3/2 , 3/2) $
MODO 2
(ma adesso che lo sto scrivendo mi stanno venendo i dubbi se è possibile fare ciò che ho fatto) E' giusto approssimare $ 2^n = (1+1)^n \sim 1+n*1 \sim n $ è quindi semplificarmi tutto lo svolgimento della serie? O posso solo fare mentre lo sto valutando nel limite? Perchè se fosse giusto, e sostituendo a $ 2^n = n $ ottengo la serie $\sum_{n=1}^oo (n^3+n^2)/(n+1)$ , applicando il criterio del rapporto, ottengo che il raggio di convergenza è $ 1 $. Per $x=1$, ottengo la serie iniziale che è divergente(secondo questo procedimento), e invece per $x=-1$, non converge assolutamente ma solo semplicemente. Quindi l'insieme di convergenza è $ [-1,1) $ (per vedere invece se la serie converge o no, applico il criterio del confronto asintotico $ \sim n^3/n \sim 1/n^(-2) $ con $ \alpha = -2 < 1 $ che fa si che la serie è divergente)
Però, quale procedimento è giusto?
$\sum_{n=1}^oo (n^2*2^n+n^2)/(3^n+1) * x^n$
Ho elaborato due diverse soluzioni.
MODO 1
$\sum_{n=1}^oo (2^n(n^2+n^2/2^n))/(3^n(1+1/3^n))$ , applico il criterio della radice e il risultato del limite è $ 2/3 $ con raggio uguale a $ 3/2 $ (se non fosse una serie di potenze, il $ 2/3 $ sarebbe il risultato della serie, che indica che è convergente).
Se metto $ x=3/2 $, ho una serie analoga a quella iniziale, che tramite il criterio del rapporto, il risultato è 3/2.
Per invece $ x=-3/2 $, la serie non converge assolutamente, ma solo semplicemente.
Quindi l'insieme di convergenza è $ (-3/2 , 3/2) $
MODO 2
(ma adesso che lo sto scrivendo mi stanno venendo i dubbi se è possibile fare ciò che ho fatto) E' giusto approssimare $ 2^n = (1+1)^n \sim 1+n*1 \sim n $ è quindi semplificarmi tutto lo svolgimento della serie? O posso solo fare mentre lo sto valutando nel limite? Perchè se fosse giusto, e sostituendo a $ 2^n = n $ ottengo la serie $\sum_{n=1}^oo (n^3+n^2)/(n+1)$ , applicando il criterio del rapporto, ottengo che il raggio di convergenza è $ 1 $. Per $x=1$, ottengo la serie iniziale che è divergente(secondo questo procedimento), e invece per $x=-1$, non converge assolutamente ma solo semplicemente. Quindi l'insieme di convergenza è $ [-1,1) $ (per vedere invece se la serie converge o no, applico il criterio del confronto asintotico $ \sim n^3/n \sim 1/n^(-2) $ con $ \alpha = -2 < 1 $ che fa si che la serie è divergente)
Però, quale procedimento è giusto?
Risposte
la considerazione $2^n \sim n$ mi sembra molto sbagliata, altrimenti potresti dire anche che $100^n \sim n$.
Piuttosto potresti moltiplicare al numeratore per $x^n$ e poi raccogliere, ottenendo: $((2x)^n (n^2 + n^2/n^n))/(3^n(1 + 1/3^n))$ e quindi vedi che converge solo se $2x < 3$
Piuttosto potresti moltiplicare al numeratore per $x^n$ e poi raccogliere, ottenendo: $((2x)^n (n^2 + n^2/n^n))/(3^n(1 + 1/3^n))$ e quindi vedi che converge solo se $2x < 3$
Io ho fatto questa approssimazione $ 2^n = (1+1)^n \sim 1+n*1 \sim n $ secondo lo sviluppo di McLaurin di $ (1+x)^\alpha = 1+x\alpha+(\alpha*(\alpha-1))/(2!)x^2+...+o(x^n) $.. Però appunto il fatto è che non ne sono sicuro della sua applicabilità.
Non ho capito però come si fa a dire che converge se $ 2x<3 $..
Non ho capito però come si fa a dire che converge se $ 2x<3 $..
Non ho capito però come si fa a dire che converge se 2x<3..
L' ho dedotto dal fatto che lì hai un rapporto tra esponenziali; quindi per avere convergenza, devi per forza avere che la base dell' esponenziale al denominatore, cioè 3, sia maggiore della base dell' esponenziale al numeratore, cioè 2x..
Sì, però un attimo: il $ x^n $ che dici di moltiplicare, sta solo ad indicare che la serie è una serie di potenze, quindi tolgo il valore $ x^n $ per calcolare il raggio di convergenza, e quindi sulla fine io devo calcolare la serie $\sum_{n=1}^oo (n^2*2^n+n^2)/(3^n+1) $. Poi allora trovato il valore del raggio di convergenza, lo sostituisco alla $ x^n $ e trovo la convergenza della serie per determinare se gli estremi del raggio sono compresi o meno all'insieme di convergenza..
"Cadetto Entusiasta":
Sì, però un attimo: il $ x^n $ che dici di moltiplicare, sta solo ad indicare che la serie è una serie di potenze, quindi tolgo il valore $ x^n $ per calcolare il raggio di convergenza, e quindi sulla fine io devo calcolare la serie $\sum_{n=1}^oo (n^2*2^n+n^2)/(3^n+1) $. Poi allora trovato il valore del raggio di convergenza, lo sostituisco alla $ x^n $ e trovo la convergenza della serie per determinare se gli estremi del raggio sono compresi o meno all'insieme di convergenza..
Mmh.. se si tratta di una serie di potenze allora non ti posso aiutare, non so nulla al riguardo..
dato che si tratta di una serie di potenze, io applicherei i teoremi relativi ad esse, quindi criterio della radice o del rapporto per calcolare il raggio di convergenza, e poi studierei appunto il bordo della regione di convergenza, studiando la convergenza delle due serie numeriche...
Infatti io ho fatto così Ska, ho risolto in due diversi modi l'esercizio nel post di apertura topic, però non sono sicuro di quale dei due è quello giusto....
del secondo metodo dire che $2^n \approx n$ nn vuol dire nulla..... ricordati che gli sviluppi di Taylor sono riferiti ad un centro di sviluppo $2^n = 1 + n * ln(2) + o(n)$ considerando $n$ continua ed in un intorno del centro dello sviluppo che è $0$.
Per quanto riguarda il primo modo, concordo che il raggio di convergenza è $3/2$ quindi sai che converge uniformemente in ogni $[a,b] \subset ]-3/2,3/2[$
per vedere il bordo, considera $\sum_{n=1}^\infty (n^2 + (n^2)/(2^n))/(1+(1/3^n))$ che diverge, dato che manca la condizione necessaria alla convergenza della serie, ovvero il termine della serie sia infinitesimo.
l'altro punto, invece hai $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n(n^2 + (n^2)/(2^n))/(1+(1/3^n))$, assolutamente non converge, dato che ricadiamo nel caso precedente, semplicemente, applicando il criterio di Leibniz, non converge, dato che $(n^2 + (n^2)/(2^n))/(1+(1/3^n))$ non è infinitesimo.
Quindi la serie converge solo in $]-3/2,3/2[$.
Per quanto riguarda il primo modo, concordo che il raggio di convergenza è $3/2$ quindi sai che converge uniformemente in ogni $[a,b] \subset ]-3/2,3/2[$
per vedere il bordo, considera $\sum_{n=1}^\infty (n^2 + (n^2)/(2^n))/(1+(1/3^n))$ che diverge, dato che manca la condizione necessaria alla convergenza della serie, ovvero il termine della serie sia infinitesimo.
l'altro punto, invece hai $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n(n^2 + (n^2)/(2^n))/(1+(1/3^n))$, assolutamente non converge, dato che ricadiamo nel caso precedente, semplicemente, applicando il criterio di Leibniz, non converge, dato che $(n^2 + (n^2)/(2^n))/(1+(1/3^n))$ non è infinitesimo.
Quindi la serie converge solo in $]-3/2,3/2[$.
@ Cadetto Entusiasta
Al di là del problema specifico, segnalo un errore di fondo nel tuo "secondo modo", errore già menzionato da Ska.
Preciso questo: tu usi McLaurin, ma l'approssimazione che ti fornisce è "buona" solo se il valore della variabile è "piccolo". Qui la variabile va addirittura all'infinito!
[size=84]Ovviamente i termini vaghi "buona" e "piccolo" sono correttamente interpretati nell'enunciato del teorema., ma penso che non ci sia bisogno di questi dettagli tecnici.[/size]
Al di là del problema specifico, segnalo un errore di fondo nel tuo "secondo modo", errore già menzionato da Ska.
Preciso questo: tu usi McLaurin, ma l'approssimazione che ti fornisce è "buona" solo se il valore della variabile è "piccolo". Qui la variabile va addirittura all'infinito!
[size=84]Ovviamente i termini vaghi "buona" e "piccolo" sono correttamente interpretati nell'enunciato del teorema., ma penso che non ci sia bisogno di questi dettagli tecnici.[/size]
Quindi il secondo metodo me lo dimentico e tutto ciò che mi ha fatto venire in mente di utilizzare quella strada. Ripensandoci bene, il giochetto con McLaurin l'ho fatto usando il criterio del confronto asintotico, in cui dovevo approssimare funzioni complicate..
Va benissimo così. Come lo risolvi te Ska, è come avevo fatto io in un primo tentativo nel risolvere l'esercizio, solo che appunto, avendo con il secondo metodo, due risultati differenti (ovviamente) avevo il dubbio su quale dei due era quello giusto.
Sulla fine, penso solo per differenti annotazioni, la serie ha un insieme di convergenza di $ -3/2 , 3/2 $ con estremi esclusi? Perchè io per indicarlo uso questa annotazione $ (-3/2 , 3/2) $.
Va benissimo così. Come lo risolvi te Ska, è come avevo fatto io in un primo tentativo nel risolvere l'esercizio, solo che appunto, avendo con il secondo metodo, due risultati differenti (ovviamente) avevo il dubbio su quale dei due era quello giusto.
Sulla fine, penso solo per differenti annotazioni, la serie ha un insieme di convergenza di $ -3/2 , 3/2 $ con estremi esclusi? Perchè io per indicarlo uso questa annotazione $ (-3/2 , 3/2) $.
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