Che cos'è l'integrale di Lebesgue?

[dissonance]

"Fioravante Patrone":
Tempi fa mi sono imbattuto per caso in un lavoro apparso sugli Annali di Fourier. Mi ricordo che mi sono incavolato a vedere come le discussioni sul teorema di convergenza monotona e dominata (integrazione di Lebesgue) fossero vive, rispetto alla analisi evirata che mi era stata insegnata.

Stavo riflettendo su questo punto. Per come questi argomenti sono stati insegnati a me, mi accorgo che è proprio il teorema della convergenza monotona (quello della convergenza dominata, gira e volta, discende da questo) il vero pezzo da novanta dell'integrale di Lebesgue, e (imho) la ragione fondamentale per cui lo usiamo correntemente invece di quello di Riemann.

Ma perché l'integrale di Lebesgue ha questo teorema e quello di Riemann no? Ci ho pensato un po', mi sono dato delle risposte, ma non credo di aver trovato nulla di sufficientemente profondo - purtroppo l'analisi che ho studiato è, come dice Fioravante, evirata e soprattutto è pappa pronta. L'integrale di Lebesgue è per me dieci pagine di manuale.

Perciò mi piacerebbe discutere di questo argomento qui sul forum. Come rispondere alla domanda in sottolineato?

[Leonardo891]

[OT]

"ayeyye":i problemi matematici non hanno senso senso senza un corrispettivo problema fisico.

Non posso essere d'accordo. Secondo me i problemi matematici hanno senso anche senza delle applicazioni fisiche, servono per il progresso globale dell'intera matematica.
Anche se al momento non si vedono applicazioni, inoltre, non è affatto detto che in futuro non arrivino (vedi geometrie non euclidee).

Però ora stiamo andando veramente OT....
[/OT]

[Sk_Anonymous]

forse non mi spiego bene. Non ho detto che lebesgue è inutile nei corsi di laurea in fisica e quindi non si fa. Ho detto che a fisica non è necessario definire l'integrale di lebesgue, ma è sufficiente enunciarne alcune proprietà che bastano ai nostri scopi, non ci interessa fare una formulazione sistematica della teoria di lebesgue e ho ancora detto che vi sono funzioni che sono oggettivamente prive di nteresse per noi. Così almeno funziona nei corsi obbligatori, poi forse nei corsi a scelta si puo anche approfondire la trattazione. " Complicarci la vita" era relativo al fatto che la discussione era iniziata con la richiesta di qualcuno della definizione dell'integrale di lebesgue. Poi non vengo in un forum a farmi spiegare da "gugo82" cosa piace ai fisici e quanto è importante lo spazio L2. Non mi dilungo oltre.

[dissonance]

Riprendo questa discussione per una domanda un po' provocatoria: ha ancora senso studiare l'integrale di Riemann?

So che può suonare una domanda banale, ma è motivata dal fatto che - consultando per curiosità il vecchio testo Lezioni di analisi matematica di G. Fubini - nel capitolo sull'integrazione ho letto (cito a memoria):

"...dopo le ricerche del Lebesgue, l'integrale di Riemann ha ormai solo un valore storico..."

Questo libro risale, se non sbaglio, agli anni '10 del secolo scorso.

P.S.: Preciso un po' la domanda: dai post precedenti è emerso che in un certo senso l'integrale di Riemann sta all'integrale di Lebesgue come i numeri razionali stanno ai numeri reali. Inoltre si è discusso del fatto che non sembra appropriato relegare l'integrale di Lebesgue agli studi di analisi superiore; quindi, perché non abolire del tutto lo studio dell'integrale di Riemann? Cosa si perderebbe facendo così?

[Leonardo891]

"dissonance":dopo le ricerche del Lebesgue, l'integrale di Riemann ha ormai solo un valore storico...

Capisco cosa intendi (se stessimo parlando di linguaggi di programmazione ti darei anche ragione) ma non ti sembra un po' difficile cominciare da Lebesgue? Pensa alle scuole superiori. Una simile scelta impedirebbe totalmente lo studio dell'integrazione.
Oppure, a ingegneria, con il nuovo ordinamento, ti immagini cosa accadrebbe?
In 1 ANNO: analisi in una e più variabili, algebra lineare, geometria, più Lebesgue!
Ciao

P.S. Sinceramente mi sembra un po' come dire perché non saltare direttamente l'analisi reale e non passare direttamente alla complessa?

[dissonance]

"Leonardo89":P.S. Sinceramente mi sembra un po' come dire perché non saltare direttamente l'analisi reale e non passare direttamente alla complessa?

E se il parallelo fosse: sarebbe come non studiare la convergenza di successioni di numeri razionali e passare direttamente alle successioni di numeri reali? In fondo il testo che ho citato era destinato ai primi anni di università dell'epoca, e mi pare di capire che facesse qualcosa del genere (però in tutta sincerità devo aggiungere che l'ho solo sfogliato un po', non l'ho letto approfonditamente).

[Leonardo891]

"dissonance":E se il parallelo fosse: sarebbe come non studiare la convergenza di successioni di numeri razionali e passare direttamente alle successioni di numeri reali? In fondo il testo che ho citato era destinato ai primi anni di università dell'epoca, e mi pare di capire che facesse qualcosa del genere (però in tutta sincerità devo aggiungere che l'ho solo sfogliato un po', non l'ho letto approfonditamente).

In effetti non hai tutti i torti...
Torno a ripetere, però, che a mio avviso si tratterebbe di una strada impraticabile per tutti tranne che per i matematici. Inoltre, anche per questi ultimi, la condizione necessaria per poterlo fare sarebbe l'abolizione del 3+2. Ti rendi conto che facendo come dici tu fisica 1 andrebbe posticipata al 3° anno? Personalmente, niente in contrario ma ho l'impressione che stiamo andando in direzione opposta...

[Ghio1]

Le funzioni "a gradini" che si usano per l'integrale di Riemann sono un caso particolare delle funzioni semplici che si usano nell'integrale di Lebesgue.

[gugo82]

"Ghio":Le funzioni "a gradini" che si usano per l'integrale di Riemann sono un caso particolare delle funzioni semplici che si usano nell'integrale di Lebesgue.

E ciò cosa aggiunge a questa discussione, in cui nessuno interveniva più da 6 anni?!?