Che cos'è l'Energia?
Prendete un dominio $\Omega \subset \mathbb {R}^{n}$, limitato e regolare, e considerate il problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson
\[
\begin{cases}
-\Delta u = f & \text{ in } \Omega \\
u = g & \text{ su } \partial \Omega
\end{cases}
\]
Assumiamo $f \in C(\overline{\Omega})$ e $g \in C(\partial \Omega)$. Vogliamo dare una caratterizzazione variazionale della soluzione del problema (P).
Per fare questo introduco un insieme di funzioni ammissibili, che chiamo $X$. Precisamente
\[
X=\{v \in C^{1}(\overline{\Omega}) : v = g\quad \forall x \in\partial \Omega\}
\]
Definisco su $X$ il seguente funzionale, detto funzionale dell'energia:
\[
\begin{split}
E & \colon X \to \mathbb R \\
& v \mapsto \frac{1}{2}\int_{\Omega}\Vert \nabla v \Vert^{2} dx - \int_{\Omega} f(x)v(x)dx
\end{split}
\]
Ora posso provare abbastanza semplicemente la caratterizzazione che andavo cercando:
\[
\begin{cases}
-\Delta u = f & \text{ in } \Omega \\
u = g & \text{ su } \partial \Omega
\end{cases}
\]
Assumiamo $f \in C(\overline{\Omega})$ e $g \in C(\partial \Omega)$. Vogliamo dare una caratterizzazione variazionale della soluzione del problema (P).
Per fare questo introduco un insieme di funzioni ammissibili, che chiamo $X$. Precisamente
\[
X=\{v \in C^{1}(\overline{\Omega}) : v = g\quad \forall x \in\partial \Omega\}
\]
Definisco su $X$ il seguente funzionale, detto funzionale dell'energia:
\[
\begin{split}
E & \colon X \to \mathbb R \\
& v \mapsto \frac{1}{2}\int_{\Omega}\Vert \nabla v \Vert^{2} dx - \int_{\Omega} f(x)v(x)dx
\end{split}
\]
Ora posso provare abbastanza semplicemente la caratterizzazione che andavo cercando:
[*:2v5cvc4w] se $u$ è soluzione del problema (P) allora
\[
E(u) \le E(v) \qquad \forall v \in X
\]
cioè $u$ è minimo per il funzionale $E$. [/*:m:2v5cvc4w]
[*:2v5cvc4w] Viceversa, se $u \in X$ è un minimo per $E$ e $u \in C^{2}(\Omega)$ allora $u$ è soluzione del problema (P). [/*:m:2v5cvc4w][/list:u:2v5cvc4w]
Tutto ciò mi è abbastanza chiaro; anche la dimostrazione mi è chiara. Quello che mi spiace è che non capisco quello che si sta facendo. Anzitutto, la domanda che più mi opprime: che cos'è questa energia?
D'accordo, non sono (ancora) molto amico con i funzionali, ma quelli che ho incontrato finora avevano un significato abbastanza intuitivo (il funzionale lunghezza, il funzionale dell'area).
E ancora: perché funzioni $C^{1}(\overline{\Omega})$? E' una scelta di comodo? Non mi pare che si usi esplicitamente questo fatto nella dimostrazione che possiedo, se non per dire che il funzionale è ben posto. In effetti, per come l'abbiamo definita noi (cioè in ambito classico e regolare) una soluzione di (P) è semplicemente una funzione $u \in C(\overline{\Omega}) \cap C^{2}(\Omega)$... Potrebbe accadere che una funzione del genere sia tale che il suo gradiente non è quadrato integrabile, i.e. [tex]\int_{\Omega} \Vert \nabla u \Vert ^{2} dx = +\infty[/tex]?
So che stiamo andando su un campo minato e soprattutto a me sconosciuto ma... è forse questa la strada verso i famigerati spazi di Sobolev? Io non ne so nulla (a malapena mi destreggio negli $L^p$); qualcuno ha voglia di fare luce?
Grazie in anticipo.
P.S. Una curiosità didattica: è normale che uno alla fine del triennio non abbia mai sentito parlare di spazi di Sobolev?
Risposte
E' una domanda che mi sono posto pure io, dal punto di vista fisico:
http://math.stackexchange.com/q/39822/8157 (attenzione: io non mi sento di avere ricevuto una risposta soddisfacente. Evita di perdere troppo tempo leggendo questo link, quindi)
Invece dal punto di vista strettamente matematico il funzionale dell'energia è una sorta di "primitiva" dell'equazione, in un senso reso preciso dalla teoria del calcolo differenziale negli spazi di Banach (a me è stato consigliato su questo argomento il libro di Prodi e Ambrosetti A primer in nonlinear analysis. Se passa da qua Rigel lui saprà consigliarti molto meglio di me).
Sulla richiesta di regolarità fin sul bordo, prova a controllare meglio la dimostrazione perché può darsi sia stata usata per qualche integrazione per parti. Specialmente la formula
\[\int_{\Omega} \Delta f\, dx= \int_{\partial \Omega} \nabla f\cdot n\, dS\]
richiede che \(\nabla f\) esista e non sia troppo brutto su \(\partial \Omega\), fatto che si ottiene certamente se \(f\in C^1(\overline{\Omega})\).
E infine, sulla necessità degli spazi di Sobolev, hai ragione a intravederla in questo esempio. Questa che hai sottomano è una equazione ellittica e un tipico approccio per teoremi di esistenza è dimostrare che il funzionale dell'energia ha punti critici. Ad esempio, per l'equazione in esame si può dimostrare che tale funzionale è convesso, coercitivo (ovvero diverge ad infinito) e verifica certe proprietà di continuità che lo rendono simile alla funzione \(x\mapsto x^2\). Perciò si può concludere che esso ammette certamente un punto critico e quindi che l'equazione assegnata ha soluzione. Il guaio è che questo tipo di approccio richiede certe proprietà funzionali che gli spazi di funzioni continue non hanno, e quindi occorre spostarsi negli spazi di Sobolev.
Anche qua, questo forum è frequentato da gente milioni di volte più preparata di me su queste cose. Se passa uno di loro sarò ben contento anche io di sentire la sua opinione.
http://math.stackexchange.com/q/39822/8157 (attenzione: io non mi sento di avere ricevuto una risposta soddisfacente. Evita di perdere troppo tempo leggendo questo link, quindi)
Invece dal punto di vista strettamente matematico il funzionale dell'energia è una sorta di "primitiva" dell'equazione, in un senso reso preciso dalla teoria del calcolo differenziale negli spazi di Banach (a me è stato consigliato su questo argomento il libro di Prodi e Ambrosetti A primer in nonlinear analysis. Se passa da qua Rigel lui saprà consigliarti molto meglio di me).
Sulla richiesta di regolarità fin sul bordo, prova a controllare meglio la dimostrazione perché può darsi sia stata usata per qualche integrazione per parti. Specialmente la formula
\[\int_{\Omega} \Delta f\, dx= \int_{\partial \Omega} \nabla f\cdot n\, dS\]
richiede che \(\nabla f\) esista e non sia troppo brutto su \(\partial \Omega\), fatto che si ottiene certamente se \(f\in C^1(\overline{\Omega})\).
E infine, sulla necessità degli spazi di Sobolev, hai ragione a intravederla in questo esempio. Questa che hai sottomano è una equazione ellittica e un tipico approccio per teoremi di esistenza è dimostrare che il funzionale dell'energia ha punti critici. Ad esempio, per l'equazione in esame si può dimostrare che tale funzionale è convesso, coercitivo (ovvero diverge ad infinito) e verifica certe proprietà di continuità che lo rendono simile alla funzione \(x\mapsto x^2\). Perciò si può concludere che esso ammette certamente un punto critico e quindi che l'equazione assegnata ha soluzione. Il guaio è che questo tipo di approccio richiede certe proprietà funzionali che gli spazi di funzioni continue non hanno, e quindi occorre spostarsi negli spazi di Sobolev.
Anche qua, questo forum è frequentato da gente milioni di volte più preparata di me su queste cose. Se passa uno di loro sarò ben contento anche io di sentire la sua opinione.
Uh, bene bene; ti ringrazio per la risposta, dissonance.
Conosco il libro di Ambrosetti-Prodi, anche se non l'ho mai studiato seriamente. Proverò a darci uno sguardo, anche se sono proprio a digiuno di calcolo differenziale negli spazi di Banach.
Ovviamente hai ragione
Mi ero dimenticato che ad un certo punto si usa il teorema della divergenza e quindi ci vuole buona regolarità fin sul bordo. Grazie!
Molto, molto interessante. Bello il paragone con $x^2$, mi è piaciuto! Ma ora ho un'altra domanda: a quali proprietà "funzionali" ti riferisci nell'ultimo periodo? (Sono cose comprensibili anche da uno come me?)
Grazie ancora, sei stato utilissimo e preziosissimo come sempre!
Conosco il libro di Ambrosetti-Prodi, anche se non l'ho mai studiato seriamente. Proverò a darci uno sguardo, anche se sono proprio a digiuno di calcolo differenziale negli spazi di Banach.
"dissonance":
Sulla richiesta di regolarità fin sul bordo, prova a controllare meglio la dimostrazione perché può darsi sia stata usata per qualche integrazione per parti. Specialmente la formula
\[\int_{\Omega} \Delta f\, dx= \int_{\partial \Omega} \nabla f\cdot n\, dS\]
richiede che \(\nabla f\) esista e non sia troppo brutto su \(\partial \Omega\), fatto che si ottiene certamente se \(f\in C^1(\overline{\Omega})\).
Ovviamente hai ragione
Mi ero dimenticato che ad un certo punto si usa il teorema della divergenza e quindi ci vuole buona regolarità fin sul bordo. Grazie!
"dissonance":
E infine, sulla necessità degli spazi di Sobolev, hai ragione a intravederla in questo esempio. Questa che hai sottomano è una equazione ellittica e un tipico approccio per teoremi di esistenza è dimostrare che il funzionale dell'energia ha punti critici. Ad esempio, per l'equazione in esame si può dimostrare che tale funzionale è convesso, coercitivo (ovvero diverge ad infinito) e verifica certe proprietà di continuità che lo rendono simile alla funzione \(x\mapsto x^2\). Perciò si può concludere che esso ammette certamente un punto critico e quindi che l'equazione assegnata ha soluzione. Il guaio è che questo tipo di approccio richiede certe proprietà funzionali che gli spazi di funzioni continue non hanno, e quindi occorre spostarsi negli spazi di Sobolev.
Molto, molto interessante. Bello il paragone con $x^2$, mi è piaciuto! Ma ora ho un'altra domanda: a quali proprietà "funzionali" ti riferisci nell'ultimo periodo? (Sono cose comprensibili anche da uno come me?)
Grazie ancora, sei stato utilissimo e preziosissimo come sempre!
Di norma, in fisica si minimizza (o meglio, si cercano i punti stazionari) l'azione lagrangiana (principio di Maupertuis), che è la differenza fra l'energia cinetica e l'energia potenziale.
L'energia totale è invece la somma dei due contribuiti.
In effetti, in calcolo delle variazioni si usa chiamare "energy functional" l'azione lagrangiana. Da un punto di vista matematico ciò che importa, come ha già detto dissonance, è il fatto che i punti stazionari del funzionale energia siano soluzioni (deboli) della PDE assegnata.
L'energia totale è invece la somma dei due contribuiti.
In effetti, in calcolo delle variazioni si usa chiamare "energy functional" l'azione lagrangiana. Da un punto di vista matematico ciò che importa, come ha già detto dissonance, è il fatto che i punti stazionari del funzionale energia siano soluzioni (deboli) della PDE assegnata.
"Paolo90":
Molto, molto interessante. Bello il paragone con $x^2$, mi è piaciuto! Ma ora ho un'altra domanda: a quali proprietà "funzionali" ti riferisci nell'ultimo periodo? (Sono cose comprensibili anche da uno come me?)
Intanto, come puoi intuire dalla forma del funzionale dell'azione
\[E(f)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}\lvert \nabla f\rvert^2\, dx, \]
sarebbe naturale introdurre il seguente prodotto scalare:
\[\int_{\Omega}f(x)g(x)\, dx+\int_{\Omega}\nabla f(x)\cdot \nabla g(x)\, dx.\]
Il guaio è che lo spazio delle soluzioni classico \(C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})\) non è completo rispetto a tale prodotto scalare. Occorre quindi passare al completamento e questo è esattamente lo spazio di Sobolev \(H^1(\Omega)\).
La tecnica di cui parlavo prima, dimostrare che il funzionale dell'azione ha punti critici, si applica negli spazi di Hilbert e richiede strettamente la completezza. Infatti essa funziona per analogia col teorema di Weierstrass: come una funzione \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) continua e coercitiva ha certamente minimo (in un intorno di infinito è molto grande, e nel complementare, che è un intorno compatto dell'origine, assume minimo perché continua), così un funzionale \(F\colon H\to \mathbb{R}\) debolmente continuo e coercitivo ha minimo. Prendendo come \(F\) il funzionale dell'azione e come \(H\) un opportuno sottospazio di \(H^1(\Omega)\) questa è una fabbrica di teoremi di esistenza per equazioni come quella di Poisson.
"Debolmente continuo", a dispetto del nome, sta ad indicare una proprietà di continuità più forte rispetto alla usuale continuità topologica ed è una ipotesi necessaria per sfruttare una proprietà di "compattezza locale" degli spazi di Hilbert: infatti, si può dimostrare che se \((u_n)\) è una successione limitata nello spazio di Hilbert \(H\) allora esiste \(u\in H\) tale che (a meno di passare ad una estratta) \((f, u_n)\to (f, u)\) per ogni \(f \in H\). Si dice che \(u_n\) converge debolmente ad \(u\).
In tutto questo la completezza è essenziale. Una funzione continua non ha obbligo di assumere minimo su un intervallo chiuso e limitato di numeri razionali. Allo stesso modo i teoremi citati prima non funzionano su spazi prehilbertiani a meno che essi non siano completi.
Queste erano proprio due chiacchiere. Chiaramente si apre qua tutto un immenso capitolo della matematica di cui io sono completamente all'oscuro.
Intanto vi ringrazio per i vostri interventi; molto, molto bello il parallelo con i numeri razionali dissonance. Un validissimo modello da tenere presente.
Per quanto riguarda il funzionale dell'energia, ho pensato la seguente cosa: siccome sono fresco fresco di Fisica 2, ho preso il campo elettrico $E$. Sappiamo che esso è conservativo, esiste il potenziale $-\nabla V = E$. La prima equazione di Maxwell dice che
\[
\text{div} E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
\]
dove $rho$ è la densità di carica. Siccome $-\nabla V = E$, posso riscrivere la prima equazione di Maxwell come
\[
-\Delta V = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
\]
che è proprio un'equazione di Poisson (questa riflessione me l'ha fatta fare Luca Lussardi: quando l'ho capito sono rimasto un attimo sconvolto)
Va bene, allora prendiamo una soluzione di tale equazione e calcoliamo la sua "energia" secondo il funzionale di sopra: viene fuori
\[
\frac{1}{2}\int_{\Omega} \Vert E \Vert ^{2}dx + \int_{\Omega} V \frac{\rho}{\varepsilon_0}dx
\]
che si può scrivere come
\[
C \int_{\Omega} \frac{1}{2}\varepsilon_0 \Vert E \Vert ^{2} + V\rho dx
\]
Oh, tu guarda: chi è l'integrando? Il primo pezzo è la nota densità di energia del campo elettrico; l'altro pezzo è anch'esso - fortunatamente - una densità di energia (basta fare un rapido conto mentale per vedere che l'unità di misura sarebbe proprio $J/m^3$).
Allora questi conti che ho fatto sono un po' una "porcheria" (ed evito accuratamente di andarli a raccontare in giro, almeno in questo modo, ma se qualcuno ha idea di come si può formalizzare bene il discorso lo ascolto volentieri) però diciamo che mi tranquillizzano: il funzionale dell'energia rappresenta proprio... un'energia!
E' una questione sciocca, forse, ma mi premeva capire l'origine del nome... Non voglio buttarla solo sul lato fisico, mi interessa molto la parte matematica che c'è dietro però sentivo il bisogno di chiarire la nomenclatura. Che ne pensate?
Grazie.
Per quanto riguarda il funzionale dell'energia, ho pensato la seguente cosa: siccome sono fresco fresco di Fisica 2, ho preso il campo elettrico $E$. Sappiamo che esso è conservativo, esiste il potenziale $-\nabla V = E$. La prima equazione di Maxwell dice che
\[
\text{div} E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
\]
dove $rho$ è la densità di carica. Siccome $-\nabla V = E$, posso riscrivere la prima equazione di Maxwell come
\[
-\Delta V = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
\]
che è proprio un'equazione di Poisson (questa riflessione me l'ha fatta fare Luca Lussardi: quando l'ho capito sono rimasto un attimo sconvolto)
Va bene, allora prendiamo una soluzione di tale equazione e calcoliamo la sua "energia" secondo il funzionale di sopra: viene fuori
\[
\frac{1}{2}\int_{\Omega} \Vert E \Vert ^{2}dx + \int_{\Omega} V \frac{\rho}{\varepsilon_0}dx
\]
che si può scrivere come
\[
C \int_{\Omega} \frac{1}{2}\varepsilon_0 \Vert E \Vert ^{2} + V\rho dx
\]
Oh, tu guarda: chi è l'integrando? Il primo pezzo è la nota densità di energia del campo elettrico; l'altro pezzo è anch'esso - fortunatamente - una densità di energia (basta fare un rapido conto mentale per vedere che l'unità di misura sarebbe proprio $J/m^3$).
Allora questi conti che ho fatto sono un po' una "porcheria" (ed evito accuratamente di andarli a raccontare in giro, almeno in questo modo, ma se qualcuno ha idea di come si può formalizzare bene il discorso lo ascolto volentieri) però diciamo che mi tranquillizzano: il funzionale dell'energia rappresenta proprio... un'energia!
E' una questione sciocca, forse, ma mi premeva capire l'origine del nome... Non voglio buttarla solo sul lato fisico, mi interessa molto la parte matematica che c'è dietro però sentivo il bisogno di chiarire la nomenclatura. Che ne pensate?
Grazie.
Certo, la terminologia viene dalla fisica (ed in questo contesto il paragone col campo elettrico è molto utile a capire come vanno le cose).
Tuttavia, in generale, si chiama "energia" associata ad una PDE un qualunque funzionale \(\mathcal{J}\) definito su uno spazio funzionale "buono" la cui equazione di Eulero-Lagrange coincide con la PDE assegnata.
Tuttavia, in generale, si chiama "energia" associata ad una PDE un qualunque funzionale \(\mathcal{J}\) definito su uno spazio funzionale "buono" la cui equazione di Eulero-Lagrange coincide con la PDE assegnata.
Se ti interessano le connessioni tra l'equazione di poisson e l'elettrostatica il testo più famoso al mondo su queste cose è:
http://www.amazon.com/Classical-Electro ... 047130932X
estremamente più avanzato di un libro di fisica 2, soprattutto dal punto di vista matematico
http://www.amazon.com/Classical-Electro ... 047130932X
estremamente più avanzato di un libro di fisica 2, soprattutto dal punto di vista matematico
Sottolineo questo intervento di Rigel:
che poi riguarda proprio lo stesso dubbio che cercavo di risolvere nel primo link che ho postato. Più precisamente, questo qui:
\[\tag{1} -\Delta u = \rho.\]
(dove chiaramente abbiamo impostato ad \(1\) le varie costanti). Quella che hai scritto è l'energia totale del sistema, mentre i principi primi ti dicono di considerare l'azione che è un'altra cosa. Infatti le soluzioni della (1) sono i punti critici di
\[I=\int_{\Omega} \left( \frac{1}{2}\lvert \nabla u \rvert^2 - u\rho \right)\, dx\]
Insomma, non ti confondere (come ho fatto io) con gli abusi di notazione tra fisica e matematica.
"Rigel":
Di norma, in fisica si minimizza (o meglio, si cercano i punti stazionari) l'azione lagrangiana (principio di Maupertuis), che è la differenza fra l'energia cinetica e l'energia potenziale.
L'energia totale è invece la somma dei due contribuiti.
In effetti, in calcolo delle variazioni si usa chiamare "energy functional" l'azione lagrangiana. Da un punto di vista matematico ciò che importa, come ha già detto dissonance, è il fatto che i punti stazionari del funzionale energia siano soluzioni (deboli) della PDE assegnata.
che poi riguarda proprio lo stesso dubbio che cercavo di risolvere nel primo link che ho postato. Più precisamente, questo qui:
"Paolo90":NON è il funzionale dell'energia nel senso matematico, ovvero il funzionale i cui punti critici sono le soluzioni dell'equazione di Poisson
\[C \int_{\Omega} \frac{1}{2}\varepsilon_0 \Vert E \Vert ^{2} + V\rho dx \]
\[\tag{1} -\Delta u = \rho.\]
(dove chiaramente abbiamo impostato ad \(1\) le varie costanti). Quella che hai scritto è l'energia totale del sistema, mentre i principi primi ti dicono di considerare l'azione che è un'altra cosa. Infatti le soluzioni della (1) sono i punti critici di
\[I=\int_{\Omega} \left( \frac{1}{2}\lvert \nabla u \rvert^2 - u\rho \right)\, dx\]
Insomma, non ti confondere (come ho fatto io) con gli abusi di notazione tra fisica e matematica.
Riesumo per una rapida risposta a questa domanda del post originario:
Si parla di qualcosa del genere su Gilbarg-Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, nel paragrafo dedicato alla formula di Poisson, in un piccolo remark. La richiesta di regolarità \(C^1\) fin sul bordo si fa per questione di comodo ma è superflua, e gli autori dicono che si può rimuovere con un "simple approximation argument". E' sufficiente che il dato iniziale dell'equazione di Poisson sia continuo sul bordo del dominio in questione.
( Mi riferisco a quanto scritto a pagina 20: "The right hand side of formula (2.26) is called the Poisson integral of \(u\) [...]". )
"Paolo90":
E ancora: perché funzioni $C^{1}(\overline{\Omega})$? E' una scelta di comodo? Non mi pare che si usi esplicitamente questo fatto nella dimostrazione che possiedo[...] una soluzione di (P) è semplicemente una funzione $u \in C(\overline{\Omega}) \cap C^{2}(\Omega)$...
Si parla di qualcosa del genere su Gilbarg-Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, nel paragrafo dedicato alla formula di Poisson, in un piccolo remark. La richiesta di regolarità \(C^1\) fin sul bordo si fa per questione di comodo ma è superflua, e gli autori dicono che si può rimuovere con un "simple approximation argument". E' sufficiente che il dato iniziale dell'equazione di Poisson sia continuo sul bordo del dominio in questione.
( Mi riferisco a quanto scritto a pagina 20: "The right hand side of formula (2.26) is called the Poisson integral of \(u\) [...]". )
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