Che cos'è la formula di Hopf-Lax?
Leggendo il libro di Evans sono arrivato alla formula di Hopf-Lax:
se [tex]H\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}[/tex] è una funzione convessa, liscia, e coerciva, se [tex]L=H^\star[/tex] è la trasformata di Legendre di [tex]H[/tex], e se [tex]g\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}[/tex] è una funzione Lipschitziana allora la funzione [tex]u=u(x, t)[/tex] definita ponendo
[tex]$u(x, t)=\inf_{w \in C^1}\left( \int_0^t L(\dot{w}(s))\, ds + g(w(0)) \mid w(t)=x \right)[/tex] (1)
ammette la rappresentazione
[tex]$u(x, t)=\min_{y \in \mathbb{R}^n} \left( tL\left(\frac{x-y}{t}\right)+g(y)\right)[/tex] (2)
detta formula di Hopf-Lax.
Ok. Ora ho cercato di informarmi un po' sull'argomento, consultando questo libro e questo articolo, nel quale leggo:
se [tex]H\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}[/tex] è una funzione convessa, liscia, e coerciva, se [tex]L=H^\star[/tex] è la trasformata di Legendre di [tex]H[/tex], e se [tex]g\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}[/tex] è una funzione Lipschitziana allora la funzione [tex]u=u(x, t)[/tex] definita ponendo
[tex]$u(x, t)=\inf_{w \in C^1}\left( \int_0^t L(\dot{w}(s))\, ds + g(w(0)) \mid w(t)=x \right)[/tex] (1)
ammette la rappresentazione
[tex]$u(x, t)=\min_{y \in \mathbb{R}^n} \left( tL\left(\frac{x-y}{t}\right)+g(y)\right)[/tex] (2)
detta formula di Hopf-Lax.
Ok. Ora ho cercato di informarmi un po' sull'argomento, consultando questo libro e questo articolo, nel quale leggo:
The major restriction involved in the Hopf Lax formula is the fact that H is not allowed to depend on t, x or u. The reason for this is that the formula is derived from a variational characterization of the function u in which straight lines are proved to be the optimal trajectories.Un discorso analogo l'ho sentito durante un corso universitario: queste "traiettorie ottimali" diritte che permettono di esprimere con la relativamente semplice formula (2) la soluzione del complicato problema (1). Qualcuno mi saprebbe dare qualche spiegazione, a livello intuitivo?
Risposte
Ti ringrazio per la disponibilità. Allora ho capito il mio dubbio.
Dobbiamo provare che $lim_{|y|\to \infty} tL((x-y)/t)+g(y)=+\infty$. Tutto ok per $g$. Il mio problema è valutare il limite del primo addendo. Io so che $lim_{|v|\to \infty} \frac{L(v)}{|v|}=+\infty$ e quindi so che $lim_{|y|\to \infty} {L((x-y)/t)}/{|x-y|/t}=+\infty$. Come posso da questo ricavare informazioni sul limite del primo addendo?
Grazie per la perdita di tempo. E' importante per me capire questi dettagli. In realtà mi sto accorgendo che non so "fare i conti" in maniera del tutto autonoma
Dobbiamo provare che $lim_{|y|\to \infty} tL((x-y)/t)+g(y)=+\infty$. Tutto ok per $g$. Il mio problema è valutare il limite del primo addendo. Io so che $lim_{|v|\to \infty} \frac{L(v)}{|v|}=+\infty$ e quindi so che $lim_{|y|\to \infty} {L((x-y)/t)}/{|x-y|/t}=+\infty$. Come posso da questo ricavare informazioni sul limite del primo addendo?
Grazie per la perdita di tempo. E' importante per me capire questi dettagli. In realtà mi sto accorgendo che non so "fare i conti" in maniera del tutto autonoma
In realtà a volerla fare proprio precisa è un po' una rottura (ecco perché Evans lo lascia per esercizio, questo è tipico suo 
). L'idea intuitiva è quella che dicevo nel post precedente. Un modo non troppo tragico potrebbe essere porre $L_1(y)=tL((x-y)/t)$, osservando che ancora $lim_{|y|\to \infty} \frac{L_1(y)}{|y|}=+\infty$, e che quindi
$lim_{|y| \to \infty} \frac{L_1(y)+ g(y)}{|y|}=+\infty$
perché $0 le frac{|g(y)|}{|y|}\le frac{|g(0)|}{|y|}+"Lip"(g) \to 0$, come dicevamo un paio di post fa. Perciò esiste una costante $C>0$ tale che per $|y|$ sufficientemente grande risulta
$L_1(y)+g(y)\ge C|y|$
e quindi, passando al liminf:
$"liminf"_{|y|\to \infty} L_1(y)+g(y) \ge \lim_{y \to \infty} C|y|=+\infty$
ovvero la tesi.
Non lo so, ti piace? Si può fare in vari modi in realtà...
). L'idea intuitiva è quella che dicevo nel post precedente. Un modo non troppo tragico potrebbe essere porre $L_1(y)=tL((x-y)/t)$, osservando che ancora $lim_{|y|\to \infty} \frac{L_1(y)}{|y|}=+\infty$, e che quindi $lim_{|y| \to \infty} \frac{L_1(y)+ g(y)}{|y|}=+\infty$
perché $0 le frac{|g(y)|}{|y|}\le frac{|g(0)|}{|y|}+"Lip"(g) \to 0$, come dicevamo un paio di post fa. Perciò esiste una costante $C>0$ tale che per $|y|$ sufficientemente grande risulta
$L_1(y)+g(y)\ge C|y|$
e quindi, passando al liminf:
$"liminf"_{|y|\to \infty} L_1(y)+g(y) \ge \lim_{y \to \infty} C|y|=+\infty$
ovvero la tesi.
Non lo so, ti piace? Si può fare in vari modi in realtà...
"dissonance":
In realtà a volerla fare proprio precisa è un po' una rottura (ecco perché Evans lo lascia per esercizio, questo è tipico suo
(ne lascia un po' troppi 
)"dissonance":
Non lo so, ti piace? Si può fare in vari modi in realtà...
Perfetto. Davvero grazie!
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