Charimenti sul problema di Cauchy
Salve a tutti,
sto esercitandomi per sostenere la prossima prova scritta d'istituzioni di matematiche per la mia facoltà.
Mi scuso fin d'ora se la domanda potrà sembrare banale ma non ho avuto la possibilità di frequentare le lezioni e sono stato a digiuno per anni di analisi matematica (l'ho fatta alle superiori ormai 13 anni fa e l'ho ripresa, per il corso sopracitato, quasi un anno fa).
Come testo uso il Marcellini-Sbordone "Calcolo" (che, per inciso, trovo meno comprensibile di molte dispense reperibili in rete).
Tra i problemi, presenti tipicamente nei temi d'esame, in cui sono meno autonomo nello svolgimento vi è la determinazione della soluzione del problema di Cauchy (e l'intervallo di definizione della stessa) per sistemi composti da una sola equazione differenziale del 1° ordine (a variabili separabili o lineare).
Ad esempio in questo problema:
$\{(y'-y/x=x/(x^2+1)),(y(-1)=0):}
Non riesco a comprendere come s'individua l'intervallo di definizione della soluzione del problema.
La soluzione dell'esercizio indica che la soluzione è unica (presumo per via del teorema di Cauchy per le equazioni lineari del 1° ordine) ma non riesco a capire perché l'intervallo di definizione della soluzione è $(-\infty, 0)$
Inoltre, essendo un'equazione lineare (quindi nella forma $y'=a(x)y+b(x)$), individuo le due funzioni come segue: $a(x)=1/x$ e $b(x)=x/(x^2+1)$.
Premesso ciò, $A(x)$ dovrebbe essere $\intdx/x$ e l'integrale generale della soluzione dell'equazione differenziale:
$y(x)=e^(\intdx/x)\intx/(x^2+1)e^(-\intdx/x) dx$
L'altro passaggio che non riesco a spiegarmi è perché
$e^(\intdx/x)=e^(ln(-x))$ e non $e^(\intdx/x)=e^(ln(x))$
sto esercitandomi per sostenere la prossima prova scritta d'istituzioni di matematiche per la mia facoltà.
Mi scuso fin d'ora se la domanda potrà sembrare banale ma non ho avuto la possibilità di frequentare le lezioni e sono stato a digiuno per anni di analisi matematica (l'ho fatta alle superiori ormai 13 anni fa e l'ho ripresa, per il corso sopracitato, quasi un anno fa).
Come testo uso il Marcellini-Sbordone "Calcolo" (che, per inciso, trovo meno comprensibile di molte dispense reperibili in rete).
Tra i problemi, presenti tipicamente nei temi d'esame, in cui sono meno autonomo nello svolgimento vi è la determinazione della soluzione del problema di Cauchy (e l'intervallo di definizione della stessa) per sistemi composti da una sola equazione differenziale del 1° ordine (a variabili separabili o lineare).
Ad esempio in questo problema:
$\{(y'-y/x=x/(x^2+1)),(y(-1)=0):}
Non riesco a comprendere come s'individua l'intervallo di definizione della soluzione del problema.
La soluzione dell'esercizio indica che la soluzione è unica (presumo per via del teorema di Cauchy per le equazioni lineari del 1° ordine) ma non riesco a capire perché l'intervallo di definizione della soluzione è $(-\infty, 0)$
Inoltre, essendo un'equazione lineare (quindi nella forma $y'=a(x)y+b(x)$), individuo le due funzioni come segue: $a(x)=1/x$ e $b(x)=x/(x^2+1)$.
Premesso ciò, $A(x)$ dovrebbe essere $\intdx/x$ e l'integrale generale della soluzione dell'equazione differenziale:
$y(x)=e^(\intdx/x)\intx/(x^2+1)e^(-\intdx/x) dx$
L'altro passaggio che non riesco a spiegarmi è perché
$e^(\intdx/x)=e^(ln(-x))$ e non $e^(\intdx/x)=e^(ln(x))$
Risposte
"Osid":
$\{(y'-y/x=x/(x^2+1)),(y(-1)=0):}
Non riesco a comprendere come s'individua l'intervallo di definizione della soluzione del problema.
La soluzione dell'esercizio indica che la soluzione è unica (presumo per via del teorema di Cauchy per le equazioni lineari del 1° ordine) ma non riesco a capire perché l'intervallo di definizione della soluzione è $(-\infty, 0)$
Essendo una equazione lineare a coefficienti continui, il problema di Cauchy ha una ed una sola soluzione massimale che è definita sul più grande intervallo in cui i "coefficienti" sono continui e che contiene il punto iniziale.
Visto che i coefficienti sono continui su $]-oo,0[$ e su $]0,+oo[$, e visto che $-1 \in ]-oo,0[$, ne segue appunto che:
l'intervallo di definizione della soluzione massimale è $(-\infty, 0)$
Per rispondere al tuo secondo dubbio: visto che $\int("d"x)/x=ln|x|$ e visto che, come detto da Fioravante, stai considerando $x<0$, hai $|x|=-x$ quindi $ln|x|=ln(-x)$.
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