Cerco un aiuto per analisi II
Cerco un aiuto!
Ho l'esame a breve.
La funzione è la seguente :
Essa vale: (x^2*y)/(x^4+y^2) per (x;y) diversi da (0;0)
0 (x;y) = (0;0)
calcolando il limite preferendo 2 direzioni particolari ottengo che il limite non esiste ma non riesco bene a dimostrare ciò tramite coordinate polari.
Come devo fare?
Ho l'esame a breve.
La funzione è la seguente :
Essa vale: (x^2*y)/(x^4+y^2) per (x;y) diversi da (0;0)
0 (x;y) = (0;0)
calcolando il limite preferendo 2 direzioni particolari ottengo che il limite non esiste ma non riesco bene a dimostrare ciò tramite coordinate polari.
Come devo fare?
Risposte
Perche' ti serve dimostrare la non esistenza passando a coordinate polari? E' sufficiente trovare due direzioni che forniscano due limiti distinti, per concludere che il limite dato non esiste...
Luca.
Luca.
Non è un esercizio standard!
Esercitandomi mi sono accorta che non riesco a dimostrarlo nell'altro modo e vorrei capire perchè non riesco a verificarlo.
Esercitandomi mi sono accorta che non riesco a dimostrarlo nell'altro modo e vorrei capire perchè non riesco a verificarlo.
La ringrazio comunque per l'interesse che ha dimostrato.
prova a vedere se il limite ti dipende dall'angolo theta; prova a sostituire due valori di theta e vedere se vengono due limiti diversi; comunque sia, per esperienza, trovo molto più sempice dimostrare che un limite non esiste, passando al limite lungo le rette e lungo le parabole.
ciao, ubermensch
ciao, ubermensch
Può non essere facile dimostrare la non esistenza in coordinate polari: tra l'altro il limite dato, calcoloato in coordinate polari, sarebbe 0, se esistesse.
Dunque l'unico modo e' far saltare la sua uniformità rispetto all'angolo; e qui occorre usare la definizione... per cui non e' semplicissimo, anzi...
E' comunque sufficiente dimostrare la non esistenza con le restrizioni; ha ragione uber, quando si cerca di provare la non esistenza, si va per restrizioni; se si vuole provare che il limite e' effettivamente un certo valore, allora si provano le coordinate polari.
Luca.
Dunque l'unico modo e' far saltare la sua uniformità rispetto all'angolo; e qui occorre usare la definizione... per cui non e' semplicissimo, anzi...
E' comunque sufficiente dimostrare la non esistenza con le restrizioni; ha ragione uber, quando si cerca di provare la non esistenza, si va per restrizioni; se si vuole provare che il limite e' effettivamente un certo valore, allora si provano le coordinate polari.
Luca.
Ponendo y = mx
ed intersecando, si ottiene :
z = mx/(x
+ m)
il cui grafico è (al variare di m da 0 a 10 con step 0.5) :
per cui ...
Bye.
ps. l'utilizzo delle coordinate polari porta all'espressione :
z = t*cos(2a)*sen(a)/(t2*cos4(a)+sen2(a))
per cui il grafico diventa (ovviamente simile al precedente) :
S.E.e.O.
Modificato da - arriama il 13/06/2004 10:01:23
ed intersecando, si ottiene :
z = mx/(x
+ m)il cui grafico è (al variare di m da 0 a 10 con step 0.5) :
per cui ...
Bye.
ps. l'utilizzo delle coordinate polari porta all'espressione :
z = t*cos(2a)*sen(a)/(t2*cos4(a)+sen2(a))
per cui il grafico diventa (ovviamente simile al precedente) :
S.E.e.O.
Modificato da - arriama il 13/06/2004 10:01:23
Potresti comunque spiegare come effettuare la dimostrazione in coordinate polari? GRAZIE
Ma se sostituisci delle parabole y=m^2x^2 il discorso non torna infatti il limite non esiste!
con le coordinate polari devi vercare di dimostrare che il limite dipende dall'angolo theta; ripeto che però è sconveniente.
Si l'ho fatto ed è effettivamente molto più complesso!
forse in ritardo, tento di dare un punto di vista pragmatico, da "uomo della strada"
per capire se la funz. z(x, y) ha limite in un certo punto senza dover avere la fortuna di vedere o intuire certi percorsi (rettilinei o parabolici, o a zif-zag) lungo i quali si veda che la funz. tende a limiti diversi.
[1] eseguo in quel punto un "carotaggio" verticale, prendendo un cilindro di raggio rho.
ne ottengo una z(rho, theta) in coordin. cilindriche.
[2] sviluppo in piano la superf. later. del cilindro, disegnandone il diagramma cartesiano z(theta) per quel certo rho.
[3] studio il comportam. di questa funz. al tendere a 0 di rho.
[4] se essa tende ad una costante, la funz. originale z(x, y) ha limite nel punto in esame, altrimenti no.
un esempietto:
[0] ha limite nell'origine la z = x + 7 (un semplice piano inclinato) ? - risposta anticipata: sì
[1] per il "carotaggio" passo dalle coord. cartes. x, y, z alle coord. polari rho, theta, z :
x=rho*cos(theta) y=rho*sin(theta) z=tale e quale
z = rho * cos(theta) + 7
[2] il diagramma cartesiano z(theta) è una cosinusoide di ampiezza rho traslata di 7
[3] mandando a zero rho, la z(theta) tende evidentemente alla cost. 7
[4] quindi la funz. origin. z = x + 7 ha limite nel punto in esame.
nel caso del topic:
[0] ha limite nell'origine la z=x^2*y/(x^4+y^2) ?
[1] in coord. cilindr. z=rho*cos^2(theta)*sin(theta)/(rho^2*cos^4(theta) + sin^2(theta))
[2] il diagramma è quello disegnato da arriama col suo bel programma: a destra ha due "corna" in su; a sin. due in giù.
[3] studiando la funz. vedo che per rho->0 e theta # 0 z -> 0, mentre per theta=0 z-> inf
[4] siamo ben lontani da una z(theta)->cost., quindi la funz. non ha limite nel punto in esame.
il metodo è forse troppo non-rigoroso, ma, secondo me, si fa capire;
mi viene spontaneo, non mi ricordo di averlo studiato da nessuna parte (ma, spesso, la memoria "rimuove" alcune cose).
benvenuta ogni obiezione.
tony orticultore
per capire se la funz. z(x, y) ha limite in un certo punto senza dover avere la fortuna di vedere o intuire certi percorsi (rettilinei o parabolici, o a zif-zag) lungo i quali si veda che la funz. tende a limiti diversi.
[1] eseguo in quel punto un "carotaggio" verticale, prendendo un cilindro di raggio rho.
ne ottengo una z(rho, theta) in coordin. cilindriche.
[2] sviluppo in piano la superf. later. del cilindro, disegnandone il diagramma cartesiano z(theta) per quel certo rho.
[3] studio il comportam. di questa funz. al tendere a 0 di rho.
[4] se essa tende ad una costante, la funz. originale z(x, y) ha limite nel punto in esame, altrimenti no.
un esempietto:
[0] ha limite nell'origine la z = x + 7 (un semplice piano inclinato) ? - risposta anticipata: sì
[1] per il "carotaggio" passo dalle coord. cartes. x, y, z alle coord. polari rho, theta, z :
x=rho*cos(theta) y=rho*sin(theta) z=tale e quale
z = rho * cos(theta) + 7
[2] il diagramma cartesiano z(theta) è una cosinusoide di ampiezza rho traslata di 7
[3] mandando a zero rho, la z(theta) tende evidentemente alla cost. 7
[4] quindi la funz. origin. z = x + 7 ha limite nel punto in esame.
nel caso del topic:
[0] ha limite nell'origine la z=x^2*y/(x^4+y^2) ?
[1] in coord. cilindr. z=rho*cos^2(theta)*sin(theta)/(rho^2*cos^4(theta) + sin^2(theta))
[2] il diagramma è quello disegnato da arriama col suo bel programma: a destra ha due "corna" in su; a sin. due in giù.
[3] studiando la funz. vedo che per rho->0 e theta # 0 z -> 0, mentre per theta=0 z-> inf
[4] siamo ben lontani da una z(theta)->cost., quindi la funz. non ha limite nel punto in esame.
il metodo è forse troppo non-rigoroso, ma, secondo me, si fa capire;
mi viene spontaneo, non mi ricordo di averlo studiato da nessuna parte (ma, spesso, la memoria "rimuove" alcune cose).
benvenuta ogni obiezione.
tony orticultore
VI RINGRAZIO DEL TEMPO DEDICATOMI!!!
SIETE TUTTI GENTILISSIMI!!!
GRAZIE MILLE
SIETE TUTTI GENTILISSIMI!!!
GRAZIE MILLE
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