Cerco materiale su lipschitzianità di una funzione
Come da titolo...devo dimostrare la lipschitzianità di alcune funzioni, ma nel quaderno ho solo la definizione e su ben 3 libri di esercizi non si menziona minimamente. grazie..
Risposte
Vedi su batmath:
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm
Consiglio la lettura di questa pagina che fornisce in modo egregio tutti gli strumenti necessari a studiare questi argomenti.
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm
Consiglio la lettura di questa pagina che fornisce in modo egregio tutti gli strumenti necessari a studiare questi argomenti.
gentilissimo, grazie mille!
ho appena finito di studiarmi quella pagina. Il concetto di Lipschitzianità mi è molto più chiaro, ma ho commesso un errore nella richiesta di materiale. Il mio scopo è trovare l' intervallo di unicità nell'esistenza dell'eventuale soluzione di un problema di cauchy.
So che il titolo sarebbe da cambiare, ma non vorrei intasare la sezione, quindi provo a vedere se qualcuno leggerà ancora qua:
in sostanza per parlare di esistenza e unicità nella soluzione del problema di cauchy \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} y' &= f(x,y)\\ y(x_0) & = y_0 \end{array} \right. \)
(cito da wikipedia perchè sono ancora scarso con la trascrizione delle formule)
Le opportune ipotesi su f possono essere riassunte come segue:
f deve essere definita in un intorno del punto \(\displaystyle (x_0,y_0)\in\R\times\R^n \) della forma \(\displaystyle I \times J = \{ (x, y ) \in \R \times \R^n : |x - x_0| \leq a, \|y - y_0 \| \leq b \} \)con a, b reali positivi.
f deve essere almeno di classe \(\displaystyle C0 \) su tale intorno
f deve essere lipschitziana rispetto alla variabile y, uniformemente rispetto alla variabile x, o in formule:
\(\displaystyle
\|f(x,y_1) - f(x,y_2)\| \leq L \cdot \|y_1 - y_2\| \quad \forall x \in I, \quad \forall y_1, y_2 \in J \)
con L > 0 costante di Lipschitz.
Quindi per ora sono solo capace di capire il concetto di lipschitzianità di una funzione, ma non saprei ricavare alcun intervallo di esistenza ed unicità. Ed è proprio quello il mio problema, i miei appunti di analisi2 non vanno oltre alla teoria e negli esercizi non si riporta mai l'intervallo.
Le tre condizioni che ho riportato posso verificarle. Trovare il dominio di f, controllarne la continuità e se è definita in \(\displaystyle I(x_0,y_0) \) non dovrebbero essere un problema. La lipschitzianità per ora potrei verificarla osservando che se f è \(\displaystyle C^{\infty} \) o almeno d(f)/dy continua nel dominio di f, allore è lipschitziana. Ma non ho mai visto esempi pratici in cui si verifica la terza condizione "in formule".
Mentre scrivevo mi sono poi reso conto di una cosa: non è necessario che la f sia lipschitziana su tutto il dominio, deve esserlo localmente se non erro. Quindi la continuità di df/dy deve essere solo locale e non su tutto il dominio?
Grazie mille in anticipo!
So che il titolo sarebbe da cambiare, ma non vorrei intasare la sezione, quindi provo a vedere se qualcuno leggerà ancora qua:
in sostanza per parlare di esistenza e unicità nella soluzione del problema di cauchy \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} y' &= f(x,y)\\ y(x_0) & = y_0 \end{array} \right. \)
(cito da wikipedia perchè sono ancora scarso con la trascrizione delle formule)
Le opportune ipotesi su f possono essere riassunte come segue:
f deve essere definita in un intorno del punto \(\displaystyle (x_0,y_0)\in\R\times\R^n \) della forma \(\displaystyle I \times J = \{ (x, y ) \in \R \times \R^n : |x - x_0| \leq a, \|y - y_0 \| \leq b \} \)con a, b reali positivi.
f deve essere almeno di classe \(\displaystyle C0 \) su tale intorno
f deve essere lipschitziana rispetto alla variabile y, uniformemente rispetto alla variabile x, o in formule:
\(\displaystyle
\|f(x,y_1) - f(x,y_2)\| \leq L \cdot \|y_1 - y_2\| \quad \forall x \in I, \quad \forall y_1, y_2 \in J \)
con L > 0 costante di Lipschitz.
Quindi per ora sono solo capace di capire il concetto di lipschitzianità di una funzione, ma non saprei ricavare alcun intervallo di esistenza ed unicità. Ed è proprio quello il mio problema, i miei appunti di analisi2 non vanno oltre alla teoria e negli esercizi non si riporta mai l'intervallo.
Le tre condizioni che ho riportato posso verificarle. Trovare il dominio di f, controllarne la continuità e se è definita in \(\displaystyle I(x_0,y_0) \) non dovrebbero essere un problema. La lipschitzianità per ora potrei verificarla osservando che se f è \(\displaystyle C^{\infty} \) o almeno d(f)/dy continua nel dominio di f, allore è lipschitziana. Ma non ho mai visto esempi pratici in cui si verifica la terza condizione "in formule".
Mentre scrivevo mi sono poi reso conto di una cosa: non è necessario che la f sia lipschitziana su tutto il dominio, deve esserlo localmente se non erro. Quindi la continuità di df/dy deve essere solo locale e non su tutto il dominio?
Grazie mille in anticipo!
Quindi la continuità di df/dy deve essere solo locale e non su tutto il dominio?
Vabbé, continuità locale e continuità globale sono la stessa cosa. Pensaci un attimo... Una funzione continua "localmente" in ogni punto è una funzione continua. Puoi pure dire "continua globalmente", se proprio vuoi, ma non stai aggiungendo nulla con quell'avverbio.
Nella pratica la condizione richiesta dal teorema di esistenza e unicità è - quasi sempre - che \(f\) sia di classe \(C^1\). Ci sono funzioni Lipschitziane ma non \(C^1\), ma in genere non te le ritrovi come equazioni differenziali.
Osserva che questo è un teorema di esistenza solo locale: niente ti assicura che, in un intorno del dato iniziale, la soluzione non cessi di esistere (tipicamente perché "esplode" ad infinito). Ci sono poi teoremi più forti, che richiedono però ipotesi più difficili da verificare, di esistenza globale: essi ti permettono di stabilire a priori l'intervallo di esistenza della soluzione.
giusto m'ero incasinato per nulla su continuità locale e globale, grazie
Mi rimane il problema di riuscire a ricavare l'intervallo di esistenza di una soluzione dell'equazione differenziale però
Mi rimane il problema di riuscire a ricavare l'intervallo di esistenza di una soluzione dell'equazione differenziale però
"Mattz":
Mi rimane il problema di riuscire a ricavare l'intervallo di esistenza di una soluzione dell'equazione differenziale però
Non è un problema semplice, tant'è che non si risolve in maniera generale. Come ti diceva dissonance, esistono teoremi (ad esempio, il teorema di esistenza e unicità globale, cfr. Pagani-Salsa, Analisi Matematica 2, Masson ed: pag. 216 e segg) che sotto alcune ipotesi (forti) ti permette di stabilire l'$I_{max}$ della soluzione.
Esistono altri modi per ricavare informazioni sull'intervallo massimale, anche in casi di superlinearità; ad esempio, con alcune equazioni a var. sep. si riesce a stabilire almeno se l'intervallo massimale è limitato o meno.
Insomma, non c'è una risposta generale alla tua domanda. Al massimo, se vuoi, prova a postare un esempio e discutiamo su quello.
temo di capire ... io provo a scrivervi l'esercizio che mi ha messo in crisi. Se riconoscete qualche teorema che devo conoscere ditemi che me lo recupero
E' un doppio esercizio:
siano dati
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} y' + \frac{2y}{x}\ &= 0\\ y(-1) & = 1 \end{array} \right. \)
e
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} y' + \frac{2y}{x}\ &= e^x\\ y(1) & = e-2 \end{array} \right. \)
studiare esistenza e unicità di una soluzione e determinare eventuali soluzioni specificandone l'intervallo di esistenza.
Ecco, per esistenza e unicità direi che entrambi i problemi ammettono soluzione unica, questo perchè le f(y(x),x) dei due sistemi sono definite in (x0, y0) , sono continue nel dominio in quanto prodotto/rapporto/somma di continue, ed entrambe sono anche lipschitziane perchè C1.
Per inciso, la lipschitzianità richiesta dalle ipotesi è locale, il fatto che siano C1 implica che lo sono globalmente?
procedo poi a trovare la soluzione, ma l'intervallo di esistenza non saprei trovarlo. Quello è il mio problema..
E' un doppio esercizio:
siano dati
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} y' + \frac{2y}{x}\ &= 0\\ y(-1) & = 1 \end{array} \right. \)
e
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} y' + \frac{2y}{x}\ &= e^x\\ y(1) & = e-2 \end{array} \right. \)
studiare esistenza e unicità di una soluzione e determinare eventuali soluzioni specificandone l'intervallo di esistenza.
Ecco, per esistenza e unicità direi che entrambi i problemi ammettono soluzione unica, questo perchè le f(y(x),x) dei due sistemi sono definite in (x0, y0) , sono continue nel dominio in quanto prodotto/rapporto/somma di continue, ed entrambe sono anche lipschitziane perchè C1.
Per inciso, la lipschitzianità richiesta dalle ipotesi è locale, il fatto che siano C1 implica che lo sono globalmente?
procedo poi a trovare la soluzione, ma l'intervallo di esistenza non saprei trovarlo. Quello è il mio problema..
"Mattz":
Ecco, per esistenza e unicità direi che entrambi i problemi ammettono soluzione unica, questo perchè le f(y(x),x) dei due sistemi sono definite in (x0, y0) , sono continue nel dominio in quanto prodotto/rapporto/somma di continue, ed entrambe sono anche lipschitziane perchè C1.
E' detto un po' troppo alla buona... Esistenza e unicità locali sono certamente garantite; è vero che le $f(y(x),x)$ sono di classe $C^1$, ma dove? Rispetto a quale variabile? Io posso anche chiudere un occhio e non fare le pulci al tuo discorso. Ma cerca di fare attenzione ad esprimerti correttamente.
"Mattz":
Per inciso, la lipschitzianità richiesta dalle ipotesi è locale, il fatto che siano C1 implica che lo sono globalmente?
Tu che dici?
Pensa a funzioni di una sola variabile: [tex]\mathbb{R} \ni x \mapsto e^x \in \mathbb{R}[/tex] è localmente lipschitiziana... lo è globalmente?
"mattz":
procedo poi a trovare la soluzione, ma l'intervallo di esistenza non saprei trovarlo. Quello è il mio problema..
Be', ma scusa: se sai risolvere l'equazione, che problema hai a determinare l'intervallo massimale? Sarà il più grande intervallo (contenente l'istante iniziale) su cui la tua soluzione risulta definita.
"Paolo90":
Tu che dici?
Pensa a funzioni di una sola variabile: [tex]\mathbb{R} \ni x \mapsto e^x \in \mathbb{R}[/tex] è localmente lipschitiziana... lo è globalmente?
se lo è localmente non è detto che lo sia globalmente (il link di dissonance portava come esempio \(\displaystyle f(x)=x^2 \). Io chiedevo invece che tipo di lipschitzianità si garantisce con la continuità della derivata rispetto a y di f(y(x),x)
Mi verrebbe da dire che se è continua in un intervallo allora è lipschitziana in tale intervallo, ma a puro intuito e solo perchè se non fosse così non saprei individuare un sotto-intervallo in cui lo è.
Adesso calcolo le soluzioni delle due equazioni e vedrò di esporre il tutto in maniera più rigorosa, in ogni caso grazie per l'aiuto!
"Mattz":
Io chiedevo invece che tipo di lipschitzianità si garantisce con la continuità della derivata rispetto a y di f(y(x),x)
Mi verrebbe da dire che se è continua in un intervallo allora è lipschitziana in tale intervallo, ma a puro intuito e solo perchè se non fosse così non saprei individuare un sotto-intervallo in cui lo è.
La seconda frase è praticamente incomprensibile, perchè non precisi il soggetto delle proposizioni. Chi è continua? Chi è lipschitz?
In ogni caso, pensaci non è difficile. Se la derivata è continua allora la funzione sarà localmente lipschitz, no?
Comunque, prego figurati.
Si hai ragione, era una frase senza capo né coda ...
comunque la prima equazione differenziale la risolverei così:
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} y' + \frac{2y}{x}\ &= 0\\ y(-1) & = 1 \end{array} \right. \)
riconoscendo f(y(x),x) = \(\displaystyle \frac{2y}{x}\ \) , il suo dominio è RxR- {0} ed è continua perchè rapporto di funzioni continue (y(x) lo è per ipotesi)
Inoltre la derivata di f rispetto ad y è \(\displaystyle \frac{-2}{x}\ \) che è una funzione continua nel proprio dominio che è R - {0}. (Qui posso solo concludere che f(y(x),x) è localmente lipschitziana dove la df/dy è continua vero?)
Procedendo col calcolo ottengo che la soluzione del problema di cauchy associato è \(\displaystyle y(x)=|x|^2 \) in un intervallo che va da ]-2,0[.
Sicuramente avrò scritto qualche boiata..
Una cosa che non mi è chiara è proprio quell'intorno. ]-2,0[ , che contiene -1 , ma chi mi garantisce che la soluzione sia unica in questo particolare intorno di -1 che dovrebbe essere quello massimo (altrimenti finirei per includere 0, che non rispetta le condizioni di esistenza e unicità locali della soluzione). Il teorema di esistenza ed unicità locali (cito da wikipedia per comodità http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... _di_Cauchy) individua l'intorno con molta precisione , fissandone il raggio \(\displaystyle \delta < \min \left\{a, \frac{1}{L}, \frac{b}{M} \right\} \) , con a,b,M,L da calcolare (non riporto il testo dove sono definite per non appesantire il post). Io non ho fatto nulla di simile né sarei probabilmente in grado di farlo, temo
comunque la prima equazione differenziale la risolverei così:
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} y' + \frac{2y}{x}\ &= 0\\ y(-1) & = 1 \end{array} \right. \)
riconoscendo f(y(x),x) = \(\displaystyle \frac{2y}{x}\ \) , il suo dominio è RxR- {0} ed è continua perchè rapporto di funzioni continue (y(x) lo è per ipotesi)
Inoltre la derivata di f rispetto ad y è \(\displaystyle \frac{-2}{x}\ \) che è una funzione continua nel proprio dominio che è R - {0}. (Qui posso solo concludere che f(y(x),x) è localmente lipschitziana dove la df/dy è continua vero?)
Procedendo col calcolo ottengo che la soluzione del problema di cauchy associato è \(\displaystyle y(x)=|x|^2 \) in un intervallo che va da ]-2,0[.
Sicuramente avrò scritto qualche boiata..
Una cosa che non mi è chiara è proprio quell'intorno. ]-2,0[ , che contiene -1 , ma chi mi garantisce che la soluzione sia unica in questo particolare intorno di -1 che dovrebbe essere quello massimo (altrimenti finirei per includere 0, che non rispetta le condizioni di esistenza e unicità locali della soluzione). Il teorema di esistenza ed unicità locali (cito da wikipedia per comodità http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... _di_Cauchy) individua l'intorno con molta precisione , fissandone il raggio \(\displaystyle \delta < \min \left\{a, \frac{1}{L}, \frac{b}{M} \right\} \) , con a,b,M,L da calcolare (non riporto il testo dove sono definite per non appesantire il post). Io non ho fatto nulla di simile né sarei probabilmente in grado di farlo, temo
Una risposta telegrafica perché purtroppo devo scappare: da dove hai tirato fuori quel modulo? Per poi elevarlo al quadrato... Fai prima a scrivere $x mapsto x^2$, no? Tanto il risultato è sempre positivo!
Ad ogni modo c'è da controllare un segno, quella funzione non soddisfa l'equazione.
Posta i tuoi conti per la risoluzione, è da lì che bisogna partire (in questo caso) per trovare l'intervallo che cerchi.
Ad ogni modo c'è da controllare un segno, quella funzione non soddisfa l'equazione.
Posta i tuoi conti per la risoluzione, è da lì che bisogna partire (in questo caso) per trovare l'intervallo che cerchi.
è vero il modulo posso decisamente toglierlo ..
c'è un errore proprio nel procedimento, sto correggendo ora perchè ieri sera ero proprio cotto
allora, la soluzione corretta è:
y(x)=$e^{-2ln|x|}$ o in alternativa y(x)=$e^{-lnx^2}$ o anche y(x)=$1/x^2$
non so in che modo potessi aver sbagliato ieri. Me ne sono accorto subito quando ho provato a risolvere il secondo problema (e potevo accorgermene sostituendo con attenzione, ma vabbè).
a questo punto la condizione su x è che sia diversa da 0. Confermerei quindi che l'intorno di -1 in cui è valida la solizione è ]-2,0[. Che ne dici/dite?
Rimane il dubbio che avevo espresso nel post precedente: non dovrei calcolare l'intorno con maggiore precisione, come si fa nella dismostrazione del teorema di esistenza e unicità del teorema di esistenza ed unicità locali? La prima dimostrazione di wikipedia, non quella di Picard-Lindelöf
c'è un errore proprio nel procedimento, sto correggendo ora perchè ieri sera ero proprio cotto
allora, la soluzione corretta è:
y(x)=$e^{-2ln|x|}$ o in alternativa y(x)=$e^{-lnx^2}$ o anche y(x)=$1/x^2$
non so in che modo potessi aver sbagliato ieri. Me ne sono accorto subito quando ho provato a risolvere il secondo problema (e potevo accorgermene sostituendo con attenzione, ma vabbè).
a questo punto la condizione su x è che sia diversa da 0. Confermerei quindi che l'intorno di -1 in cui è valida la solizione è ]-2,0[. Che ne dici/dite?
Rimane il dubbio che avevo espresso nel post precedente: non dovrei calcolare l'intorno con maggiore precisione, come si fa nella dismostrazione del teorema di esistenza e unicità del teorema di esistenza ed unicità locali? La prima dimostrazione di wikipedia, non quella di Picard-Lindelöf
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