Cerchiamo f (no 3)

[dennysmathprof]

se [tex]f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R , f{'}(x)=1-f^2(x), f(0)=0[/tex]

cerchiamo f

[Noisemaker]

è l'equazione differenziale di Riccati
\[y'+y^2-1=0\]

[dennysmathprof]

non so se funziona cosi ma ,secondo me non e giusto brucciare un esercizio , dicendo ..." Ricatti " , perche per usare Ricatti
serve anche una soluzione .
Credo che aiuta di piu dare la soluzione .

Scusa mi Noisemaker , ma dico solo la mia idea ...

buon prosseguimento

[Noisemaker]

dicendo che è l'equazioni di Riccati non ho bruciato niente, e ho semplicemente dato un hint per la soluzione ... ma questa è la mia idea, buon proseguimento a te

[Obidream]

Quindi seguendo l'hint di Noisemaker si imposta il seguente Problema di Cauchy con il quale si risolve facilmente il problema.. anche se è un po come sparare alle mosche coi cannoni

${(y'(x)=1-y^2(x)),(y(0)=0):}$

L'equazione è a variabili separabili.. Quindi cerco le soluzioni costanti che sono $y(x)=+-1$ e poi procedi separando le variabili e integrando:

$int dy/(1-y^2)=int dx$

$1/2log|(1+y)/(1-y)|=x+c$

$(1+y)/(1-y)=e^(2x)*K$, con $K in RR$

$y=(e^(2x)K-1)/(1+Ke^(2x))$

Ora impongo $y(0)=0$ da cui $(K-1)/(K+1)=0$ quindi $K=1$ quindi sostituendo all'equazione di partenza:

$y(x)=(e^(2x)-1)/(e^(2x)+1)$