Cercasi teorema per convergenza del prodotto in $L_p$

[bradipo90]

Mi chiedevo qual è il modo di svolgere questo esercizio in maniera formale:

Siano $f_n,g_n$ due succesioni di funzioni continue da $RR->RR$ t.c
$ lim_(n ->oo) ||f_n||_L_p=0 $
$|g_n|<=sqrt(pi)$ per quasi ogni $ x in [-1,1] $
Calcolare : $ lim_(n -> oo) int_(0)^(1) f_n(x)g_n(x)dx $

Mi ricordo di un teorema sulle serie di dirichelet che affermava che date due successioni $a_k$ e $b_k$ con $ k in NN $,
se $a_k$ è uniformemente limitata e $ b_k$ è convergente a $0$, allora
$ sum_(n = 0)^(oo) a_kb_k $ converge uniformemente,
sapreste dirmi qul è se esiste l'equivalente con gli integrali e gli spazi $L_p$?
per dimostrare che il limite vale $0$.

[Rigel1]

Mi sembra sia sufficiente usare la disuguaglianza di Holder, visto che $g$ è limitata, per dimostrare che quel limite vale $0$.

[gugo82]

Ma infatti Hölder basta e avanza...

E comunque le ipotesi sono abbastanza sballate: funzioni definite in [tex]$\mathbb{R}$[/tex], limitate in [tex]$[-1,1]$[/tex], l'integrale è esteso a [tex]$[0,1]$[/tex]... Insomma, si può scrivere certamente meglio.

[bradipo90]

Hai ragione l'ho presa da un testo d'esame l'ha fatta un professore